Главная | Обратная связь

Обчислення похідних елементарних і складених функцій

Обчислення похідної будь-якої елементарної функції ґрунтується на її означенні. Так, наприклад, розглянемо функцію . Маємо:

 

На цьому прикладі видно, що похідна функції також є функція тієї ж змінної. Розглядають похідні функції другого, третього чи будь-якого порядку та: .

Похідні елементарних функцій подані в табл. 1.

Таблиця 1

ПОХІДНІ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

 

№ з/п	Похідна функції f(x)	Значення похідної
	(с)'	0
	(хn)'	nxn-1
	(ex)'	ex
	(ax)', a>0	axlna
		cosx
		-sinx

 

Розглянемо функцію у = f(x), де x = (t). Тоді функція називається складеною функцією. На практиці при диференціюванні функцій часто розглядаються складені функції. Наприклад, функція у = sin2t є складеною, оскільки (t)=2t, а . Для функції функція (t) є незалежною змінною. Обчислюють похідну складеної функції за формулою:

,

де та визначаються за наведеними в табл. 1 значеннями похідних.

Для складеної функції відповідно маємо .

Основні теореми про похідні

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. , де q(x) та f(x) взаємно обернені.

Розглянемо приклади, на яких продемонструємо використання табл. 1 та зазначених теорем.

Задача 5.1. Визначити похідну суми та різниці функції:

Розв'язок. Маємо:

.

Задача 5.2. Визначити похідну добутку функцій: y = sin2^xarcsin2x.

Розв'язок. Маємо таке:

.

Задача 5.3. Визначити похідну частки функцій: .

Розв'язок. Маємо:

.

Обчислення похідних функцій, що подані в параметричній формі

Параметричне подання функції має вигляд:

де t – параметр. Похідна для функції, яка подана в параметричній формі, визначається за виразом:

.

Задача 2.8. Визначити похідну функції

Розв'язок. За співвідношенням, яке визначене вище, маємо:

.

Функції двох змінних.