 |
|
Екстремум функції двох змінних.
Кажуть, що функція 
в точці 
досягає локального максимума (мінімума), якщо її значення в цій точці є найбільшим (найменшим) в порівнянні з її значеннями в будь-яких точках, достатньо близьких до .
Точки, в яких всі її часткові похідні дорівнюють нулю, або не існують, називаються критичними точками. Подібно до функції однієї змінної, екстремум функції кількох змінних може знаходитись тільки в критичних точках.
Критична точка 
для функції двох змінних 
є точкою максимума (мінімума), якщо приріст функції 
в точці M, достатньо близьких до 
не змінює знак. Якщо 
зберігає додатний знак, то точка є точка мінімума, якщо 
зберігає від’ємний знак, то точка є точкою максимума.
Якщо в області визначення D функції 
для будь-якої точки М, 
або 
, то точка для є точкою глобального максимума або мінімума..
Необхідно умовою існування локального екстремума функції в точці 
є рівність нулю її часткових похідних в цій точці.
Значить визначення координат точки 
, в яких функція може досягати максимума чи мінімума, досягається із розв’язку системи двох рівнянь з двома невідомими, а саме:
Достатні умови існування в точці максимума чи мінімума функції мають наступний зміст
1. Якщо визначник, який складається з похідних другого порядку в точці є додатним та друга похідна по змінній х або друга похідна по змінній у функції в цій точці також є невд’ємними, тобто, якщо
та 
або 
,
то функція в точці досягає мінімума.
2. Якщо
та 
або 
,
то функція в точці досягає максимума.
3. Якщо
,
то функція в точці немає ні мінімума ні максимума.
Задача 6.3. Визначити значення функції 
, які вона досягає в точках її мінімума та максимума.
Розв’язання. Визначимо часткові похідні та критичні точки функції. Маємо:
; 
; 
; 
; 
; 
.
Критичними точками функції є 
та 
.
Розглянемо достатні умови наявності мінімума чи максимума функції в точці .
Маємо:
; 
;
,
тоді
значить в точці функція не має ні максимума ні мінімума.
Розглянемо достатні умови для точки . Маємо
та 
,
значить в точці функція досягає мінімума та
