Умножение ряда на число и сложение рядов
Пусть дан ряд Определение.Умножить ряд (1) на число c- это значит умножить каждый член ряда (1) на число с. Теорема 2.Если сходится ряд (1), то сходится и ряд Доказательство:Нам дано, что
Откуда
Теорема 3.Если ряд (1) расходится и c¹0, то и ряд (2) тоже расходится. Доказательство:Допустим, что ряд (2) сходится. Тогда, умножив ряд (2) на число 1/c, мы получим ряд (1), который в силу теоремы 2 будет сходиться. Полученное противоречие и означает, что ряд (2) расходится. ¨ Рассмотрим наряду с рядом (1) ряд Определение.Суммой рядов (1) и (3) будем называть ряд Разностью рядов (1) и (3) будем называть ряд Теорема 4. Если ряды (1) и (3) сходятся и их суммы соответственно равны А и В, то ряды (4) и (5) также сходятся и их суммы соответственно равны А+В и А-В. Доказательство: Нам дано: Обозначим через Переходя к пределу при n®¥, имеем Аналогично доказывается для разности рядов.¨ Замечание.Теорема 3 справедлива и в случае сложения (разности) любого конечного числа сходящихся рядов. 1.4. Необходимый признак сходимости числового ряда. Теорема 5.Если ряд Доказательство:Нам дано: Необходимый признак сходимости числовых рядов можно использовать для установления расходимости ряда. В самом деле, если для какого-либо ряда Теорема (Достаточный признак расходимости ряда).Если ряд (1) таков, что Следует твердо помнить, что необходимый признак сходимости рядов не является достаточным, т.е. даже при его выполнении ряд может расходиться. Примером такого ряда является гармонический ряд: Покажем, что хотя Прологарифмируем последнее неравенство по основанию e:
т.е. Учитывая неравенство (3), имеем … … Сложив почленно все эти неравенства, получим: 1.5. Ряды с положительными членами. Определение.Положительным рядом называется ряд вида Для рядов с положительными членами последовательность (Sn) частичных сумм является возрастающей последовательностью. В самом деле, рассмотрим Sn+1 и Sn: Sn+1=Sn+an+1 ; следовательно Sn+1 ³ Sn , т.к. an+1³0. Если вспомним теорему о пределе монотонной последовательности, то для сходимости последовательности частичных сумм достаточно, чтобы эта последовательность была ограничена сверху. Приходим к следующей теореме. Теорема 6 (необходимый и достаточный признак сходимости положительного ряда).Для сходимости положительного ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы последовательность Доказательство: Откуда получаем, что Обозначим через М наибольшее из чисел S+e,S1,S2,…,SN(e) : Достаточность: Т.к. Доказанная теорема непосредственно редко применяется на практике, но все достаточные признаки сходимости положительных рядов выводятся на основе этой теоремы. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|