Абсолютная и неабсолютная сходимость рядов.

Иногда при изучении сходимости произвольного ряда (1)

помогает ряд, составленный из модулей его членов: .(2)

Определение. Если ряд (1) сходится одновременно с рядом (2), то говорят, что ряд (1) сходится абсолютно.

Для положительных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают, т.к. для них . В общем случае, не каждый сходящийся ряд сходится абсолютно.

Пример 1: Рассмотрим ряд - это ряд Лейбницевского типа, он сходится. Ряд из модулей его членов - гармонический ряд, он расходится, т.е. абсолютной сходимости нет.

Пример 2: – это ряд Лейбницевского типа, он сходится. Ряд из модулей: – гармонический ряд, он расходится.

Определение. Сходящийся ряд, несходящийся абсолютно, называется неабсолютно сходящимся (условно сходящимся).

Так ряд в примере 1 - неабсолютно сходящийся.

Оказывается, сходимость ряда из модулей (2) всегда влечет сходимость самого ряда (1).

Теорема 16 (теорема Коши об абсолютной сходимости ряда). Если ряд из модулей (2) сходится, то сходится и сам ряд (1), и его сумма A=P-Q, где P - сумма ряда, состоящего из неотрицательных членов , Q - сумма ряда, составленного из модулей отрицательных членов .

Доказательство. Построимдва положительных ряда и следующим образом: в качестве суммы возьмем ряд (1), в котором неотрицательные члены сохраним, а отрицательные члены заменим нулями: В качестве суммы возьмем ряд (1), в котором неотрицательные члены заменим нулями, а отрицательные члены заменим их модулями:

По построению всегда ; в любом случае . Из последних неравенств и в силу сходимости ряда по признаку сравнения сходятся положительные ряды и . Эти сходящиеся ряды можно почленно вычитать. Получится снова сходящийся ряд. При этом, если и , то . Таким образом, ряд (1) сходится:

. ¨

Замечание. Поскольку ряд из модулей (2) положительный, то при исследовании абсолютной сходимости ряда (1) можно пользоваться всеми признаками сходимости положительных рядов (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши). Нужна только осторожность при расходимости ряда (2), т.к. если даже ряд (2) расходится, сам ряд (1) может сходиться (неабсолютно). Исключение составляют только признак Даламбера и радикальный признак Коши. Если расходимость ряда из модулей (2) установлена с помощью этих признаков, то, как это видно из доказательств этих признаков, расходимость имеет место из-за нестремления к нулю. Но при этом и само не стремится к нулю, т.е. ряд (1) тоже расходится.

Таким образом, применение этих двух признаков к ряду из модулей (2) полностью решает вопрос о сходимости или расходимости ряда (1), поэтому эти признаки можно сформулировать для произвольного ряда.

Теорема 17 (признак Даламбера (Коши) для произвольного ряда). Если при всех достаточно больших n , где , то ряд (1) сходится; если при достаточно больших n , то расходится.