Метод прямоугольников

Для получения формулы прямоугольников интервал интегрирования [a, b] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x₀= a, x₁, x₂, … , x_i, x_i₊₁, … , x_n = b так, что

x_i₊₁ - x_i = h = , i = 1, 2, …, n. (2)

На этих подынтервалах строятся прямоугольники, высота их определяется значением функции f(x) в какой либо точке подынтервала.

Если f(x_i) определяется для левой границы каждого подынтервала (рис. 2.1), то формула прямоугольников имеет следующий вид:

I₁ = ≈ (3)

и называется формулой левых прямоугольников.

Если f(x_i) определяется для правой границы каждого подынтервала (рис. 2), то

I₂ = ≈ (4)

и называется формулой правых прямоугольников.

Рис. 1 Рис. 2

Если функция монотонна на отрезке [a, b], то в одном случае получается значение интеграла I с недостатком I₁, а в другом – с избытком I₂. Более точное значение I получают при усреднении величин:

I = . (5)

Если f(x_i) определяется для середины каждого подынтервала, то формула прямоугольников имеет следующий вид:

I₃ = ≈ (6)

и называется формулой средних прямоугольников.

Точность интегрирования для этих методов приближенно равняется ε ≈ h.

Пример.

С помощью формул левых, правых и средних прямоугольников вычислить , если h = 0,2.

Точное решение:

○Вычисление интеграла методом прямоугольников выполним в таблице Excel (рис. 3, 3-a).

Значения интервала интегрирования [0, 1] соответственно поместить в ячейки B3 и F3. Интервал интегрирования разобьем на 5 подынтервалов (n = 5). Введем значение n в ячейку В2. Шаг интегрирования вычислим в ячейке F2 по формуле

h = → h = .

Рис. 3 (Режим решения)

Режим показа формул

Рис. 3 - а

I) Для приближенного вычисления интеграла по формуле левых прямоугольников (3) требуется вычислить значения функции f(x) = 3x²- 4x в точках (2):

x₀= a=0;

x₁= x₀+ h= 0+0,2 =0,2 ;

x₂= x₁+ h = 0,2 + 0,2 = 0,4;

x₃= x₂+h = 0,4 + 0,2 = 0,6;

x₄= x₃+h = 0,6 + 0,2 = 0,8.

Вычисление значений x₀, x₁, x₂, x₃, x₄, представлено в блоке ячеек B6:B10, а соответствующие им значения функции – в блоке ячеек С6:С10.

Затем следует вычислить их сумму (в ячейке С11) и полученное значение умножить на шаг интегрирования h(в ячейке С12):

∑ = 0-0,68–1,12–1,32-1,28 = -4,4 I = 0,2∙ (-0,44) = -0,88.

I =.

II) Для приближенного вычисления интеграла по формуле правых прямоугольников (4) требуется вычислить значения функции f(x) = 3x²- 4x в точках:

x₁= x₀+ h= 0 + 0,2 = 0,2 ;

x₂= x₁+ h = 0,2 + 0,2 = 0,4;

x₃= x₂+h = 0,4 + 0,2 = 0,6;

x₄= x₃+h = 0,6 + 0,2 = 0,8.

x₅= x₄+h = 0,8 + 0,2 = 1,0.

Вычисление значений x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ представлено в блоке ячеек Е6:Е10, а соответствующие им значения функции – в блоке ячеек F6:F10.

Затем следует вычислить их сумму (в ячейке F11) и полученное значение умножить на шаг интегрирования h(в ячейке F12):

Приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле левых прямоугольников равно -0,88, а по формуле правых прямоугольников равно -1,08.

Их среднее значение ближе к точному, равному -1.

III) Для приближенного вычисления интеграла по формуле средних прямоугольников (5) требуется вычислить значения функции f(x) = 3x²- 4x в точках:

(x_i_-1+ x_i)/2 (блок ячеек G6:H12), их сумму (ячейка H11), полученное значение умножить на шаг интегрирования h (ячейка H12).

Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 4).■

Рис. 4

Метод трапеций

Для получения формулы трапеций интервал интегрирования [a, b] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x₀= a, x₁, x₂, … , x_i, x_i₊₁, … , x_n = b так, что

x_i₊₁ - x_i = h = , i = 1, 2, …, n.

На каждом отрезке (x_i, x_i₊₁) дугу X_i X_i₊₁ графика подынтегральной функции y = f(x) заменяют стягивающей ее хордой (рис. 2.5) и вычисляют площади трапеций x_iX_i X_i₊₁x_i₊₁, высота которых равна h, а основания определяются значением функции f(x_i), f(x_i₊₁).