Главная | Обратная связь

Контрольный тест по разделу 1

1. Вычислить и определить погрешность результата , где .

2. Построить интерполяционный полином третьей степени для функции, заданной таблицей. Найти приближённое значение функции при с помощью полученного полинома.

	1,50	1,70	1,90	2,10
	0,6915	0,7580	0,8159	0,8643

3. Отделить вещественный корень уравнения и найти его приближённое значение.

4. Вычислить приближённо определённый интеграл за шесть шагов методом Симпсона и оценить погрешность вычисления.

5. Проинтегрировать методом Эйлера уравнение с начальным условием на отрезке с шагом .

4.4.2. Контрольный тест по разделу 2

1. Найти к.ч. из уравнения .

2. Найти вещественную и мнимую части функции .

3. Найти производную функции .

4. Дана вещественная часть дифференцируемой функции . Восстановить эту функцию.

5. Вычислить , где – граница области .

6. Вычислить интеграл вдоль дуги параболы .

7. Разложить в ряд Лорана по степеням функцию .

8. Найти особые точки и определить их тип (для полюсов указать порядок) функции .

9. Найти вычет относительно особых точек функции .

10. Вычислить интеграл .

Контрольный тест по разделу 3

1. Найти кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 на графе, заданном матрицей весов:

(веса в пустых клетках равны ).

Построить остовное дерево для полученного графа.

2. Изобразить в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит . Правила грамматики: .

 

2. Имеется устройство с входным каналом , каналом обратной связи и выходным каналом , реализующее отображение , заданное в виде таблицы

На вход подаётся последовательность 111121. Определить последовательность на выходе, если .

 

Построить СДНФ, сокращённую и минимальную ДНФ булевой функции, заданной таблицей. Изобразить контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной ДНФ.

Блок итогового контроля

Вопросы к зачёту

1. Определение абсолютной и относительной погрешности.

2. Постановка задачи интерполяции функции.

3. Конечные разности и интерполяционный многочлен Ньютона.

4. Приближённое вычисление определённого интеграла. Формулы прямоугольников, трапеции, Симпсона.

5. Метод наименьших квадратов.

6. Линейная аппроксимация и линеаризация.

7. Этапы вычисления корней уравнения .

8. Постановка задачи Коши и её решение методом Эйлера.

9. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.

10. Условия Коши-Римана.

11. Формулы для вычисления производной от функции комплексного переменного.

12. Регулярные и гармонические функции.

13. Геометрический смысл производной от функции комплексного переменного.

14. Равенство Эйлера и выражения тригонометрических функций вещественной переменной через показательную функцию.

15. Интеграл от функции комплексного переменного и его выражение через вещественные криволинейные интегралы.

16. Теорема Коши и регулярность функции комплексного переменного.

17. Основная формула интегрального исчисления для функций комплексного переменного.

18. Интегральная формула Коши.

19. Функциональные ряды. Сходимость и абсолютная сходимость.

20. Ряд Тейлора и теорема Абеля.

21. Ряд Лорана и его сходимость.

22. Изолированные особые точки и их типы.

23. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.

24. Теорема Коши о вычетах.

25. Вычисление вычетов в полюсах первого и второго порядков.

26. Вычет в бесконечно удалённой точке. Основная теорема о вычетах.

27. Дать определения вершин и рёбер графа, графа и орграфа, пути и цикла, полного и неполного графа, связанного и несвязанного графа, дерева и корня дерева.

28. Задача о минимальном пути и алгоритм Дейкстры.

29. Минимальное остовное дерево и алгоритм ближайшего соседа.

30. Формальный язык: состояние, алфавит и правила грамматики.

31. Дискретные автоматы. Комбинационная и последовательная схемы.

32. Сумматор.

33. Операции высказывания, отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и эквиваленции. Таблицы истинности для них.

34. Булевы функции и нормальные формы. Правила построения СДНФ и СКНФ.

35. Построение сокращённой ДНФ методом Квайна.

36. Построение минимальной ДНФ методом Петрика.

37. Контактная схема и её логическая функция. Прямая и обратная задачи.

 

ГЛОССАРИЙ

(краткий словарь основных терминов и положений)

Автомат	Математическая модель системы, обеспечивающей приём, хранение и обработку информации
Алгебраическая форма к.ч.	Запись комплексного числа z в виде x + yi называется алгебраической формой комплексного числа.
Аналитическая функция	Функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения. В случае функции комплексного переменного это свойство совпадает со свойством голоморфности.
Аппроксимация	или приближение — замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.
Вычет функции	Вычетом функции f(z) в a называется число .
Гармоническая функция	Вещественная функция U, непрерывно дифференцируемая в области D, удовлетворяющая уравнению Лапласа: ΔU = 0, где – сумма вторых производных по всем переменным.
Граф	Граф или неориентированный граф G — это упорядоченная пара G: = (V, E), для которой выполнены следующие условия: V это множество вершин или узлов, E это множество пар (неупорядоченных) различных вершин, называемых рёбрами.
Дизъюнкция	двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно.
Интерполирование	См. Экстраполирование.
Инцидентность	Если v1,v2 — вершины, а e = (v1,v2) — соединяющее их ребро, тогда вершина v1 и ребро e инцидентны, вершина v2 и ребро e тоже инцидентны.
Квадратурные формулы	Формулы для оценки значения интеграла.
Комплексная функция	Функция которую можно представить в виде , где i — это мнимая единица, т. е. , а и — действительные функции. Функция называется действительной частью функции , а — её мнимой частью.
Комплексное число	Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению i2 = - 1.
Конъюнкция	двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны.
Логическое высказывание	Утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, truth). Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами.
Маршрут	В графе — это чередующаяся последовательность вершин и рёбер v0,e1,v1,e2,v2,...,ek,vk, в которой любые два соседних элемента инцидентны. Если v0 = vk, то маршрут замкнут, иначе открыт.
Матрица инцидентности	Это матрица, значения элементов которой характеризуются инцидентностью соответствующих вершин графа (по вертикали) и его рёбер (по горизонтали). Для неориентированного графа элемент принимает значение 1, если соответсвующие ему вершина и ребро инцидентны. Для ориентированного графа элемент принимает значение 1, если инцидентная вершина является началом ребра, значение -1, если инцидентная вершина является концом ребра. В остальных случаях (в том числе и для петель) значению элемента присваивается 0.
Матрица смежности	Это матрица, значения элементов которой характеризуются смежностью вершин графа. При этом значению элемента матрицы присваивается количество рёбер, которые соединяют соответствующие вершины (т.е. которые инцидентны обоим вершинам). Петля считается сразу двумя соединениями для вершины, т.е. к значению элемента матрицы в таком случае следует прибавлять 2.
Орграф	Ориентированный граф (сокращенно орграф) G — это упорядоченная пара G: = (V,A), для которой выполнены следующие условия: V это множество вершин или узлов, A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.
Остаточный член	Разность между заданной функцией и функцией, её аппроксимирующей. Тем самым, оценка остаточного члена является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации.
Отрицание	Логическое высказывание, принимающее значение "истинно", если исходное высказывание ложно, и наоборот.
Первообразная	Первообразной функцией данной функции f называют такую функцию F, производная которой равна f, то есть F′ = f.
Погрешность	Всякое измерение дает результат, лишь приближенный к истинному значению определяемой величины. За истинное значение принимается среднестатическое значение, полученное в результате серии измерений. Но утверждать, что усредненное значение истинно — мы не можем. Поэтому необходимо указать, какова точность измерения. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений.
Подграф	Граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и все рёбра, инцидентные данному подмножеству.
Разности конечные	Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона
Регулярная (голоморфная) функция	Комплекснозначная функция, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости и имеющая непрерывную комплексную производную. Иначе, комплексная функция u + iv = f(x + iy) является регулярной тогда и только тогда, когда выполняются условия Коши — Римана и частные производные непрерывны.
Ряд Лорана	Двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (z − a), то есть ряд вида
Ряд Тэйлора	Разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки , тогда ряд называется рядом Тейлора функции f в точке a.
Связность	Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их (простая) цепь.
Теория графов	Раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В наиболее общем смысле граф можно представить себе как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами.
Тригонометрическая форма к.ч.	Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент ( , ), то комплексное число z можнозаписать в тригонометрической форме и показательной формах .
Узлы интерполяции	Пусть имеется n значений xi, каждому из которых соответствует своё значение yi. Требуется найти такую функцию F, что: При этом: xi называют узлами интерполяции пары (xi , yi) называют точками данных разницу между «соседними» значениями xi-xi-1 — шагом функцию F (x) — интерполирующей функцией или интерполянтом.
Условия Коши – Римана	Условия на вещественную u = u(x,y) и мнимую v = v(x,y) части функции комплексного переменного , обеспечивающие дифференцируемость f(z) как функции комплексного переменного.
Формула Симпсона	относится к приемам численного интегрирования. Подынтегральную функцию приближенно заменяют параболами. Для этого отрезок, по которому ведется интегрирование, разбивают на пары отрезков, в каждой из которых по трем точкам строят полином второй степени.
Цепь	В графе — маршрут, все рёбра которого различны. Если все вершины (а тем самым и рёбра) различны, то такая цепь называется простой. В цепи v0,e1,...,ek,vk вершины v0 и vk называются концами цепи. Цепь с концами u и v соединяет вершины u и v. Цепь, соединяющая вершины u и v обозначается . Для орграфов цепь называется путём.
Эквивалентность	двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны.
Экстраполирование	Интерполяционную формулу часто используют для приближённого вычисления значений функции f при значениях аргумента x, отличных от узлов интерполирования. При этом различают интерполирование, когда , и экстраполирование, когда , .

 

 

Содержание

Стр.

1. Информация о дисциплине …………………………………………… 3

1.1. Предисловие ……………………………………………………… 3

1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы …………….. 4

2. Рабочие учебные материалы…………………………………………. 5

2.1. Рабочая программа ……………………………………………….. 5

2.2. Тематический план занятий ……………………………………... 8

2.3. Структурно-логическая схема дисциплины ……………………. 13

2.4. Временной график изучения дисциплины ……………………… 14

2.5. Практический блок ……………………………………………….. 14

3. Информационные ресурсы дисциплины ……………………………. 14

3.1. Библиографический список ……………………………………… 14

3.2. Опорный конспект лекций по дисциплине………………… 15

Введение …………………………………………………………. 15

Раздел 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ………………………………… 15

1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений 16

Вопросы для самопроверки по теме 1.1. ……………………………. 17

1.2. Интерполяция и численное дифференцирование ……………… 17

Вопросы для самопроверки по теме 1.2. ……………………………. 23

1.3. Численное интегрирование ……………………………………… 23

Вопросы для самопроверки по теме 1.3. ……………………………. 25

1.4. Приближение функций ………………………………………….. 27

 

Вопросы для самопроверки по теме 1.4 …………………………….. 29

1.5. Многомерные задачи …………………………………………….. 29

1.6. Численные методы алгебры …………………………………….. 30

Вопросы для самопроверки по теме 1.6. ……………………………. 34

1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задачи оптимизации .. 34

1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений ……………………………………………………………… 34

Вопросы для самопроверки по теме 1.8. …………………………….. 36

Раздел 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО …………………………………………….. 37

2.1. Комплексные числа и операции с ними ………………………….. 37

Вопросы для самопроверки по теме 2.1. ……………………………… 39

2.2. Функции комплексного переменного (ФКП).

Условия Коши-Римана ………………………………………………… 39

Вопросы для самопроверки по теме 2.2. ……………………………… 40

2.3. Элементарные функции и конформные отображения …………… 40

Вопросы для самопроверки по теме 2.3………………………………… 42

2.4. Представление регулярных функций интегралами ……………….. 42

Вопросы для самопроверки по теме 2.4. ………………………………. 46

2.5. Представление регулярных функций рядами ……………………… 46

Вопросы для самопроверки по теме 2.5. ……………………………….. 51

2.6. Вычеты функций …………………………………………………….. 52

Вопросы для самопроверки по теме 2.6. ……………………………….. 56

 

Раздел 3. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА …………………………….. 56

3.1. Элементы теории графов ……………………………………………. 56

Вопросы для самопроверки по теме 3.1. ……………………………….. 61

3.2. Формальные языки и дискретные автоматы ………………………. 61

Вопросы для самопроверки по теме 3.2. ……………………………….. 65

3.3. Элементы алгебры логики ………………………………………….. 65

Вопросы для самопроверки по теме 3.3 ………………………………... 75

Раздел 4.БЛОК КОНТРОЛЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ………… 76

4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ ……… 76

Варианты индии заданий ……………………………………………….. 77

Контрольная работа №1 ………………………………………………….. 84

Контрольная работа №2 ………………………………………………….. 96

4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ ……. 105

Лабораторная работа №1 ………………………………………………… 105

Лабораторная работа №2 ………………………………………………… 111

Лабораторная работа №3 ………………………………………………… 119

Лабораторная работа №4 ………………………………………………… 124

Лабораторная работа №5 ………………………………………………… 134

4.3. Блок текущего контроля …………………………………………….. 139

4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1 ………………………………… 139

4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2………………………………… 142

4.3.3. Репетиционный тестпо разделу 3 ………………………………… 144

4.4. Блок промежуточного контроля …………………………………….. 146

4.4.1. Контрольный тест по разделу 1 …………………………………… 146

4.4.2. Контрольный тест по разделу 2 …………………………………… 147

4.4.3. Контрольный тестпо разделу 3 …………………………………… 148

4.5. Блок итогового контроля …………………………………………….. 149

4.5.1. Вопросы к зачёту …………………………………………………… 149

 

ГЛОССАРИЙ (краткий словарь основных терминов и положений) … 151

 

[1] «Рабочая программа по дисциплине, составленная в соответствии с ГОС, представлена в рубрике Рабочие учебные материалы.

[2] «Тематический план, содержащий информацию о видах отчётности по темам, приведён в рубрике Рабочие учебные материалы.

[3] Для первой части курса, изучаемой в первом семестре.