 |
|
Основные теоретические положения
Решить дифференциальное уравнение y' = f(x, y) численным методом –значит для заданной последовательности аргументов x0, x1, …, xn и числа y0, не определяя функцию y = F(x), найти такие значения у1, у2, …, yn, что yi = F(xi) (i = 1, 2, …, n) и F(x0) = y0. Другими словами, численные методы позволяют вместо нахождения функции y = F(x), получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h = xk – xk-1 называется шагом интегрирования.
Для решения данной задачи используются различные численные методы, среди которых наиболее простым является метод Эйлера.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
y' = f(x, y) (1)
с начальными условиями
x = x0, у(x0) = y0.
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a, b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность x0, x1, …, xn, где xi = x0 + i·h (i = 1, 2, …, n), а h = (b – a)/n – шаг сетки. Величина h = ∆ xm = xm+1 - xi обычно выбирается постоянной и достаточно малой. При численном решении задачи вычисляются приближенные значения yi (xi) ≈ yi в узлах сетки xi (i = 1, 2, …, n).
Идея метода состоит в том, что при малом шаге сетки h производная искомой функции y'(xi)может быть приближенно заменена конечными разностями
(2)
где yi – значение функции в узле xi.
Тогда y'(xi)∙h = yi+1 - yi, отсюда yi+1 = yi+ y'(xi)∙h, а, так как y'(xi) = f(xi, yi), то
yi+1 = yi + h·f(xi,yi). (3)
Т.е. на каждом отрезке [xi, xi+1] выражение (1) можно заменить приближенным выражением (3).
Зная начальное значение y0, и используя соотношение (3), можно последовательно от узла xi к узлу xi+1 определить все искомые значения yi+1.
На практике, как правило, применяют «двойной просчет». Сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2 и
т.д.
Для достижения требуемой точности ε численного решения необходимо выполнение условия: |y2n - yn| < ε.
Пример 1. ○Используя метод Эйлера, составить на отрезке [0, 1] таблицу значений решения дифференциального уравнения
с начальными условиями x0 = 0, y0 = 1, выбрав шаг h = 0,2.
Решение.
Результаты вычислений представим в таблице Excel (рис.1). Заполняется она следующим образом:
1) В первую строку, соответствующую значению i = 0, запишем начальные условия: x0 = 0, y0 = 1. По ним вычислим значение f(x0, y0):
а затем значение ∆y0. Из (2) и (1) имеем
∆y0 = y'(x0)∙ ∆x0 = y'(x0)∙h = f(x0, y0) ∙h,
следовательно, ∆y0 = h∙f(x0, y0) = 0,2∙1 = 0,2. Отсюда по формуле (3) для i = 0 получим
y1 = y0 + h∙f(x0, y0) = y0+ ∆y0 = 1 + 0,2 = 1,2.
2) Значение x1 = x0 + h = 0 + 0,2 = 0,2 и соответствующее ему значение y1 =1,2 запишем во вторую строку таблицы, соответствующую i = 1.
Для x1 = 0,2 и y1 = 1,2 вычислим f(x1, y1).
Затем вычислим ∆y1 = h∙f(x1, y1) = 0,2∙0,8667 = 0,1733.
Тогда по формуле (3) для i = 1 получим
y2 = y1 + h∙f(x1, y1) = y1+ ∆y1 = 1,2 + 0,1733 = 1, 3733.
3) Значения x2 = x1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4 и соответствующее ему значение y2 =1,3733 запишем в третью строку таблицы (i = 2).
Аналогично следует выполнить вычисления для i = 2, 3, 4, 5 (см. рис. 1).●○
Режим формул
Режим решения
Рис. 1
Метод Эйлера легко распространяется на решение дифференциальных уравнений высших порядков. Для этого такое дифференциальное уравнение надо предварительно привести к дифференциальному уравнению первого порядка.
Пусть дано дифференциальное уравнение
y'' = f(x, y, y') (4)
с начальными условиями
x = x0, у(x0) = y0, у'(x0) = y'0.
Требуется найти решение уравнения (4) на отрезке [a, b].
С помощью подстановки y' = z, y'' = z' заменим уравнение (4) системой уравнений
и 
(5)
Таким образом, f1(x, y, z) = z, f2(x, y, z) = f(x, y, z) и задачу можно записать в общем виде:
и 
(6)
Аналогично можно свести к системе дифференциальных уравнений и уравнения более высокого порядка.
Пример 2. ○Используя метод Эйлера, составить на отрезке [1; 1,5] таблицу значений решения дифференциального уравнения
(7)
с начальными условиями y = 0,77, y' = -0,44 и выбрав шаг h = 0,1.
Решение. С помощью подстановки y' = z, y'' = z' заменим уравнение (7) системой уравнений
y' = z, 
с начальными условиями y0(1) = 0,77 и z0 = -0,44.
Таким образом,
f1(x, y, z) = z, f2(x, y, z) = 
Результаты вычислений по формулам (6) запишем в таблице Excel (рис. 2). Заполняется она следующим образом:
в первую строку i = 0 запишем начальные условия: x0 = 1,0, y0 = 0,77, z0 = -0,44.
Используя их, вычислим
f10(x0, y0, z0) = z0 = -0,44,
f20(x0, y0, z0) = 
а затем
∆y0 = h∙f10 = 0,1∙(-0,44) = -0,044, y1 = y0 + ∆y1 = 0,77 + (-0,044) = 0,726,
∆z0 = h∙f20 = 0,1∙(-0,33) = -0,033, z1 = z0 + ∆z1 = -0,44 + (-0,033) = -0,473.
Таким образом, во вторую строку таблицы, соответствующую i = 1, можно записать:
y1 = 0,726, z1 = -0,473.
По этим значениям можно вычислить
f11(x1, y1, z1) = z1 = -0,473,
f21(x1, y1, z1) = 
а затем
∆y1 = h∙f11 = 0,1∙(-0,473) = -0,047, y2 = y1 + ∆y1 = 0,726 + (-0,047) = 0,679,
∆z1 = h∙f21 = 0,1∙(-0,296) = -0,030, z2 = z1 + ∆z1 = -0,473 + (-0,030) =-0,503.
Аналогично следует выполнять вычисления для i = 2, 3, 4, 5 (см. рис. 2).●
Режим формул
Режим решения
Рис. 2