Основные разложения

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 22Следующая ⇒

Запишем ряд Макларена

1.Пусть ,тогда

при

следовательно

;

так как , ,

на основании леммы:

Для любого : , т.е.

7. Определить область сходимости функционального ряда.

а)

б)

в)

8. а) Разложить в ряд Тейлора по степеням разности ,пользуясь определением ряда Тейлора;

б) Разложить в ряд Маклорена, пользуясь стандартными разложениями.

а)

б)

9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа).

а)

10. а)Найти неопределённый интеграл;

б) Найти или вычислить, определённый интеграл;

в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда).

а)

б) ; в)

11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по косинусам.

12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по синусам.

Вариант№7

1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости.

а)

б)

2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости.

а)

б)

3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

а)

б)

4. То же с помощью признака Даламбера.

а)

б)

5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака.

а)

б)

6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость.

а)

б)

2.Пусть , тогда

Пусть х=0, тогда f(x)=0

.

Отсюда следует:

.

Это условие в силу леммы даёт .

Следовательно, при любом x:

Аналогично для

Пример 41.

Рассмотрим ряд .

Он равномерно сходится на , где и сумма его равна , то есть

Проинтегрируем при

или

Заменим на

Пример 42.

Разложить в ряд Маклорена функцию ,

где - любое действительное число .

Составим ряд Маклорена для данной функции.

Имеем:

7. Определить область сходимости функционального ряда.

а)

б)

в)

8. а) Разложить в ряд Тейлора по степеням разности ,пользуясь определением ряда Тейлора;

б) Разложить в ряд Маклорена, пользуясь стандартными разложениями.

а)

б)

9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа).

а)

10. б)Найти неопределённый интеграл;

б) Найти или вычислить, определённый интеграл;

в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда).

а)

б) ; в)

11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по синусам.

12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по косинусам

Вариант№6

1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости.

а)

б)

2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости.

а)

б)

3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

а)

б)

4. То же с помощью признака Даламбера.

а)

б)

5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака.

а)

б)

6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость.

а)

б)

Следовательно,

Ряд в правой части формулы называется биномиальным рядом.

Для определения интервала сходимости воспользуемся признаком Даламбера:

Пусть , тогда

.

Следовательно, ряд сходится при и расходится при

.

Следовательно, интервал сходимости данного ряда .

Пример 43.

Разложить в ряд функцию