Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема 1

Равномерно сходящийся ряд на непрерывных функции имеет в качестве своей суммы непрерывную функцию .

Теорема 2

Равномерно сходящаяся на отрезке ряд с непрерывными членами можно интегрировать почленно на этом отрезке, то есть ряд составленный из интегралов от его членов на отрезке сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

Теорема 3

Если члены ряда

непрерывно дифференцируемые функции на и ряд сходится к функции на , а ряд

равномерно сходится на этом отрезке, то его сумма равна , то есть

или (2)

. (3)

Если ряд на удовлетворяет (3), то говорят, что этот ряд можно почленно дифференцировать.

Действительно, из условия теоремы получаем на и равномерно сходится на этом отрезке, так как

по теореме для последовательности на , то получим .

Замечание.

Если последовательность дифференцируемых функции

равномерно сходится к на ,то последовательность производных этих функций:

может не сходится к на этом отрезке.

7. Определить область сходимости функционального ряда.

а)

б)

в)

8. а) Разложить в ряд Тейлора по степеням разности ,пользуясь определением ряда Тейлора;

б) Разложить в ряд Маклорена, пользуясь стандартными разложениями.

а)

б)

9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа).

а)

10. а)Найти неопределённый интеграл;

б) Найти или вычислить, определённый интеграл;

в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда).

а)

б)

в)

11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по синусам.

12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по косинусам.

Вариант№16

1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости.

а)

б)

2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости.

а)

б)

3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

а)

б)

4. То же с помощью признака Даламбера.

а)

б)

5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака.

а)

б)

6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость.

а)

б)

Это подтверждается примером последовательности функций , , , …, , …, которые сходятся к равномерно на любом отрезке между тем, как последовательность производных этих функций , , …, , … расходится в точке

Пример 27.

Ряд сходится равномерно в отрезке .

Поэтому из получаем:

то есть

Пример 28.

Ряд сходится равномерно в отрезке , где , при любом значении из этого отрезка имеем:

а знакоположительный числовой ряд

сходится (по признаку Даламбера).

получаем

то есть

равномерно сходящийся в отрезке .

Пример 29.

Ряд равномерно сходится в отрезке , где , для любого значения из этого отрезка имеем: , а знакоположительный числовой ряд , являясь бесконечно убывающей геометрической прогрессией, сходится.

Поэтому из

получаем :

то есть

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида:

(1)

или

где - числа, называемые коэффициентами ряда.

7. Определить область сходимости функционального ряда.

а)

б)

в)

8. а) Разложить в ряд Тейлора по степеням разности ,пользуясь определением ряда Тейлора;

б) Разложить в ряд Маклорена, пользуясь стандартными разложениями.

а)

б)

9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа).

а)

10. а)Найти неопределённый интеграл;

б) Найти или вычислить, определённый интеграл;

в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда).

а)

б) ; в)

11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по синусам.

12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по косинусам.

Вариант№15

1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости.

а)

б)

2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости.

а)

б)

3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

а)

б)

4. То же с помощью признака Даламбера.

а)

б)

5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака.

а)

б)

6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость.

а)

б)

Степенной ряд (1) называется также рядом по степеням разности .

Если , то получим (2) или ряд по степеням . Ряд (1) сводится к (2) с помощью подстановки .

Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится для значений , то он абсолютно сходится для всех значений удовлетворяющих неравенству .

Доказательство: Числовой ряд является сходящимся (по условию) Поэтому его общий член U_n= и, следовательно, представляет собой ограниченную величину, то есть существует такое число , что для всех