Теорема 1. (Теорема Дирихле).

Если функция имеет место период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье функции сходится при любом , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точках разрыва его сумма равна , то есть среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции .

Замечание:

Функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, называется кусочно-монотонной.

Теорема 2.

Если функция имеет период , кроме того, функция и ее производная - непрерывные функции на отрезке или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции сходится при всех значениях , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точках разрыва функции сумма равна . При этом ряд Фурье функции сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со

своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции .

Замечание:

Функция , удовлетворяющая условиям этой теоремы кроме быть может условия периодичности, называется кусочно-гладкой на отрезке .

Пример 53.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную в уравнением .

Графиком этой функции в является отрезок, соединяющий точки и .

Полученный ряд Фурье сходится в точках разрыва , , к .

Пример 62.

Разложить периодическую функцию :

в ряд Фурье.

Решение

Данная функция удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье; в промежутке она является нечетной, так как здесь ее график симметричен относительно начала координат.

Поэтому имеем:

;

;

,

то есть

.

Таким образом,

.

Пример 61.

Разложить в ряд по косинусам функцию:

;