Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2p

Воспользуемся тем свойством, что интеграл по симметричному промежутку:

(1)

Заметим, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.

Пусть f(x) – четная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, тогда используя свойство интеграла (1), получим:

;

(2)

так как , то ,

x	-p	p
t	-l	l

Получаем:

(3)

при этом

Рядом Фурье любой функции периода непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на называется тригонометрический ряд вида:

где коэффициенты равны:

; .

Таким образом, для отрезка имеем:

Ряды Фурье для функций любого периода

Пусть - периодическая функция периода

( - полупериод) кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке . Полагая , получим функцию аргумента , период которой равен .

Подберем а так, чтобы период был равен , то есть,

, .

Тогда подстановка (сжатие или растяжение по оси Ох) приводит к функции периода .

Эта функция удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, так как она кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке .

Разлагая функцию в ряд Фурье, получим:

(1)

где

таким образом ряд Фурье для четной функции содержит только четные функции – косинусы и записывается так:

(2)

при этом

Если f(x) – нечетная периодическая функция, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то

;

Следовательно, ряд Фурье для нечетной функции содержит только нечетные функции – синусы:

где .

Замечание 1:

Если функция задана на (или ) и удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то в этом отрезке, или интервале ее можно бесчисленным множеством способов разложить в ряд Фурье.

Замечание2

Функцию можно разложить в ряд по косинусам или синусам, для этого нужно продолжить функцию с заданного промежутка соответственно на промежуток (или ) соответственно четным или нечетным образом, исходя из условия:

Пример 56.

Разложить в ряд Фурье функцию

, при

Функция является четной, так как , поэтому имеем:

Данная периодическая функция является непрерывной на всей оси Ох.

Пример 60.

Разложить в ряд по косинусам функцию , заданную на отрезке .

Решение.

Образуем новую функцию

путем четного продолжения данной функции

с отрезка

на отрезок

и последующего периодического продолжения

за пределами отрезка

. Функция

удовлетворяет, очевидно, условиям теоремы .

На отрезке имеем:

здесь функция является четной, так как соответствующий график симметричен оси Оy.

Поэтому имеем:

то есть

Пример59

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию заданную на отрезке

f(x)= .

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 2. На отрезке функция четная, так как f(-x)=f(x) поэтому имеем:

и тогда разложение данной функции в ряд Фурье будет иметь следующий вид:

,

то есть

То для имеем:

.

Согласно т. Дирихле полученный ряд Фурье сходится в точках разрыва , , , к нулю.

Пример 57.

Данная периодическая функция является непрерывной на всей оси Ох.

Разложить в ряд Фурье функцию периода , изображенную на рисунке.