 |
|
Аксиомы натуральных чисел (аксиомы Пеано) и простейшие следствия из них
Аксиоматическое построение данной теории начинается с перечисления основных отношений (принимаемых, без определения) и основных свойств или аксиом (принимаемых без доказательства), которым удовлетворяют данные отношения. При аксиоматическом построении натуральных чисел вводится одно основное отношение и четыре аксиомы.
Определение 1. Натуральным рядом называется непустое множество N, элементы которого называются натуральными числами, в котором задано унарное отношение ' (штрих),которое записывается в виде a'=b, читается: «b следует за a» или «b есть число, следующее за числом a», удовлетворяющее следующим аксиомам:
I.Существует элемент 1, не следующий ни за каким числом, т. е. a' 
1 для любого числа а 
N.
II.Для любого числа a существует следующее за ним число a' и притом только одно, т. е. из a=b следует a'=b',
III.Любое число следует не более чем за одним числом, т. е. из а' =b' следует a = b.
IV.(Аксиома индукции.) Любое подмножество М множества N натуральных чисел, обладающее свойствами:
А) 1 принадлежит М,
Б) если число a принадлежит М, то следующее число a' также принадлежит М,
содержит все натуральные числа, т. е. совпадает с N.
Приведенная здесь аксиоматика натуральных чисел представляет собой лишь несущественное изменение системы аксиом, предложенной в конце прошлого века итальянским математиком и логиком Пеано.
Замечание. Аксиомами Пеано I-IV, определяется множество натуральных чисел, понятие же натурального числа относится к неопределяемым понятиям.
Определение 2. Если b следует за а, то говорят, что а есть число, предшествующее числу b, или что а предшествует b.
Согласно аксиоме I число 1 не имеет предшествующего. Но это единственное число с таким свойством.
Теорема 2. Любое, число 
имеет предшествующее число и притом только одно.
Доказательство. Пусть М — множество, содержащее 1 и все числа, имеющие хотя бы одно предшествующее число.
А) 1 принадлежит М, Б) если а принадлежит М, то и а' также принадлежит М, ибо а'имеет предшествующее число а (предположение, что а принадлежит М, здесь даже излишне). По аксиоме IV множество М содержит все числа. Значит, любое число имеет по крайней мере одно предшествующее. Единственность предшествующего числа следует из аксиомы III, согласно которой любое число имеет не более одного предшествующего.
Теорема 3. Есличисла, следующие за данными числами, различны, то и данные числа различны, т. е. из а' b' следует 
.
Доказательство. По аксиоме II из а = b следует а'= b'.
Теорема 4. Если данные числа различны, то и следующие за ними различны, т. е. из а b следует а' b'.
Доказательство. По аксиоме III из а'= b' следует а = b.
Теорема 5. Любое число отлично от следующего за ним числа, т. е. а а' для любого а.
Доказательство. Пусть М - множество чисел, для которых теорема верна, т. е. множество таких чисел, которые не совпадают со следующим за ними числами.
А) По аксиоме I: а' 1 для любого числа а, в том числе а 1, т. е. 1' 1, а, значит, 1 принадлежит М.
Б) Если апринадлежит М, то а' а. Значит, по теореме 4 также (а')' а',т.е. а' принадлежит М.По аксиоме IV М содержит все числа, т. е. а а' для любого а.