 |
|
Определение умножения
Определение.Умножением натуральных чисел называется соответствие, в силу которого любым двум натуральным числам х и у, или сомножителям, становится в соответствие единственное натуральное число х•у, называемое их произведением, которое удовлетворяет двум аксиомам умножения:
1) х•1=х, для любого х;
2) х•у'=х•у+х, для любых х и у.
Теорема 1. Операция сложения существует и определена однозначно.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству существования и единственности сложения натуральных чисел.
Законы умножения
Теорема 1.Операция умножения на множестве натуральных чисел дистрибутивна относительно сложения, т.е. для любых натуральных чисел х, у и z имеет место равенство
(х + у) z = хz + уz и х(у + z) = ху + хz.
Теорема 2. Операция умножения на множестве натуральных чисел коммутативна, т.е. для любых натуральных чисел х и у имеет место формула
х у = ух.
Теорема 3.Операция умножения на множестве натуральных чисел ассоциативна, т.е. для любых натуральных чисел х, у и z имеет место формула
(х у) z = х( уz).
Законы умножения натуральных чисел доказываются аналогично законам сложения.
§ 8. Отношение > для натуральных чисел
Определение.Будем говорить, что натуральное число а больше натурального числа b, и писать, если существует натуральное число k такое, что a=b+k, т.е.
а>b 
k 
N a=b+k.
Установим основные свойства отношения >.
Свойство 1.Для любых натуральных чисел a и b справедливо одно и только одно из утверждений:
1) a>b;
2) a=b;
3) b>a.
Доказательство. Покажем вначале выполнимость требования «только одно», т.е.
1) отношения a>b и b>a не могут выполняться одновременно,
2) отношения a>b и a=b не могут выполняться одновременно.
Предположим, что 1) не выполнено, т.е. для некоторых натуральных чисел a и b одновременно имеем a>b и b>a. Тогда существуют некоторые числа k, l, такие, что a=b+k и b=a+l. отсюда a=(a+l)+k=a+(l+k), что противоречит теореме 3 §5.
Предположим, что не выполнено 2), т.е. для некоторых натуральных чисел a и b одновременно имеем a>b и b=a. Тогда, a=b+k и с учетом a=b имеем a=а+k, снова противоречие с теоремой 3 §5. Единственность установлена.
Покажем теперь выполнимость хотя бы одного из условий 1)-3). Проведем доказательство индукцией по b при произвольно зафиксированном элементе a N.
При b=1 возможны два случая:
а) а=1, в этом случае имеет место соотношение 2);
б) а≠1, тогда по теореме 2 §2 существует натуральное число m такое, что а=m', т.е. а=m+1=1+ m и, значит, а>1, т.е. выполнено 3).
Предположим, что для а и b имеет место одно из соотношений 1), 2), 3), и докажем что для а и b' имеет место одно из соотношений указанного типа. Необходимо рассмотреть три случая.
а) Пусть a>b, т.е. a = b+k. Если k=1, то имеем a = b+1. Тогда а=b' и для а и b' выполнено условие 2). Если k ≠ 1, то k = l' или k = l+1. Тогда a = b+(l+1) = = b+(1+l) =(b+1)+l = b'+ l. Получили a>b', т.е. выполнено 1).
б) Пусть a=b. Тогда b' = a+1, т.е. b'>a. Получили 3).
в) Пусть b>a. Тогда b = a +k, b'= a +k'и b'>a. Получили 3).
Итак, для а и b' имеет место одно из соотношений 1), 2), 3). Ч. т. д.
Свойство 2.Для любых натуральных чисел a, b и с, если a>b и b>c, то a>c, т.е. отношение > транзитивно.
a>b и b>c, тогда а=b+k и b=c+l для некоторых натуральных k и l. Тогда a = c + (k+l) и, поэтому, a>c. Ч. т. д.
Свойство 3.Для любых натуральных чисел a, b и с справедливы равносильности
a > b a + c > b + c,
a > b ac > bc.
Доказательство. Пусть a > b. Тогда а = b + k и a + c = b + c + k. Отсюда a + c > b + c. Обратно, пусть a + c > b + c. Если неравенство a > b не выполнено, то по свойству 1 a = b или b > a. Если a = b, то a + c = b + c. Получили одновременное выполнение a + c > b + c и a + c = b + c, что невозможно по свойству 1. Если b > a, то выполнено одновременно b + с > a + с и a + c > b + c, что также невозможно. Доказательство второй равносильности аналогично.
Свойство 4.Для любых натуральных чисел a, b, с и d, если a > b и c > d, то a + c > b + d и ac > bd, т.е. неравенства можно почленно складывать и умножать.
Доказательство аналогично предыдущим.
Определим на множестве натуральных чисел отношения <, ≥, ≤ следующим образом:
a < b b > a,
a ≥ b a > b или a = b,
a ≤ b a < b или a = b.
Можно доказать свойства этих отношений, аналогичные свойствам 2)-4)
Свойство 5.Для всех a N, справедливо утверждение 1 ≤ а.
Доказательство.