Главная | Обратная связь

Вычитание и деление натуральных чисел

 

Вычитание

Теорема 1.Сумма любых двух натуральных чисел боль­ше каждого из слагаемых(или каждое слагаемое меньше суммы).

Доказательство. Пусть х и у — любые натураль­ные числа, x + y = z — натуральное число, их сумма: она существует и определена слагаемыми однозначно. Отсюда, по определению знака > и следует теорема:

z = x + y > x, z = x + y > y Ч. т. д.

Следствие 1. Если натуральное число z меньше или равно натуральному числу y, z ≤ y, то не существует такого натурального числа х, для которого x + y = z.

Следствие 2. Если натуральное число z больше натурального числа y, z > y, то существует такое натуральное число х, для которого x + y = z.

Доказательство. Если z > y, то z = y + u, где и — требуемое натуральное число х. Ч. т. д.

Определение 1. Натуральное число х, удовлетво­ряющее равенству x + y = z, называется разностью на­туральных чисел z и у и обозначается z - y = x, (z — уменьшаемое, у — вычитаемое), а действие, которое дает разность, называется вычитанием.

Вычитание обратно сложению, так как представляет нахождение одного из слагаемых, когда известны сумма и второе слагаемое. Так как сложение коммутативно, то безразлично, какое из слагаемых — первое или второе — неизвестно.

Теорема 2.Если и z — натуральные числа, то для существования разности z – у необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство z > y .

Доказательство. Если существует разность z – у = x, то это значит, что x + y = z и z > y. И наоборот, если z > y, то z = y + x, где х — натуральное число, т. е. разность z – у = x существует. Ч. т. д.

Следствие.Если существует разность натураль­ных чисел, то эта разность единственна.

Доказательство. Допустим, что существует разность двух чисел z и у, имеющая два значения х₁ и х₂:

z – у = x₁, z – у = x₂, т.е. x₁ + y = z, x₂ + y = z,

следовательно, x₁ + y = x₂ + y отсюда x₁ = x₂. Ч. т. д.

 

Деление

Теорема 3. Если х ≠ 1 — натуральное число, то любое натуральное число удовлетворяет неравенству у < ху (1).

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по у, при произвольно выбранном х.

При у = 1, 1 < x∙1 = x и так как х ≠ 1то это неравенство верно.

Пусть имеет место неравенство y < xy. Докажем, что это неравенство верно для y′: Действительно, ху′ = ху + х > у + х > y+1 = y′, т. е. y′< ху′.

Итак, согласно метода математической индукции утверждение верно для любого у, а в силу произвольности выбора х и для любого х. Ч. т. д.

Теорема 4. Если натуральное число х меньше натурального числа у, х < у, то не существует такого натурального числа z, что х = yz.

Доказательство. Допустим, что число z суще­ствует, т. е. выполняется равенство х = yz, тогда возмож­ны два случая: z = 1 и z ≠ 1. Пусть z = 1 но тогда x = y∙1 = y, что противоречит условию теоремы: x < y.

Пусть теперь z ≠ 1, тогда 1 < z и так как x < y, то x < yz, что противоречит допущению х = yz. Следовательно, не существует натурального числа z такого, что при условии x < y имеет место равенство х = yz. Ч. т. д.

Следствие. Если х и у — натуральные числа, то для того, чтобы, существовало натуральное число z, удовлетворяющее равенству х = yz,необходимо, чтобы х ≥ y.

Однако это условие не будет достаточным. Например, х=5, у=3, т. е. х > y, но не существует натурального числа z такого, чтобы 3∙z=5.

Определение 2. Натуральное число z, удовлетворяющее равенству между натуральными числами x=yz, называется частным и обозначается: z = x:y = , так что x = y· .Действие по которому находится частное, называется делением, оно обратно умножению.

Теорема 5.Если частное натуральных чисел существует, то оно единственное.

Доказательство. Пусть yz₁ = x и yz₂ = x. Тогда yz₁ = yz₂, отсюда z₁ = z₂. Ч. т. д.

Если частное двух чисел х и у существует, то говорят, что х делится на у.

Итак, вычитание и деление во множестве натуральных чисел выполняется не всегда.