Главная | Обратная связь

Умножение целых чисел и его свойства

Определение 1. Произведением целых чисел называется целое число .

Лемма 1. Операция умножения целых чисел определена корректно, т.е. результат умножения не зависит от выбора представителей классов эквивалентности.

Доказательство.

Пусть (a,b)~(a₁,b₁) (1) и (c,d) ~(c₁,d₁) (2).

Докажем, что = (3).

Доказательство проведем в два этапа:

1-й этап - докажем, что = (4).

2-й этап – докажем что = (5).

 

1-й этап.

Для доказательства (4) достаточно показать, что (6).

Для доказательства (6) достаточно показать, что (ac+bd,ad+bc)~ (a₁c+b₁d,a₁d+b₁c) (7).

Для доказательства (7) достаточно показать, что ac+bd+a₁d+b₁c= ad+bc+a₁c+b₁d (8).

Докажем (8).

Из 1) a+b₁=b+a₁ (1^')

ac+b₁c=bc+a₁c (9)

Из 1^') b+a₁=a+b₁ (1^'')

bd+a₁d=ad+b₁d (10)

(9) + (10) (8) (7) (6) (4)

Таким образом, равенство (4) верно.

2-й этап.

Для доказательства (5) достаточно показать, что

(11).

Для доказательства (11) достаточно показать, что (ac+b₁d,a₁d+b₁c)~ (a₁c₁+b₁d,a₁d+b₁c₁) (12).

Для доказательства (12) достаточно показать, что a₁c₁ + b₁c₁= b₁d₁+a₁b₁ (13).

Докажем (13).

Из 2) c+d₁=d+c₁ (2^')

a₁c+a₁d₁=da₁+a₁c₁ (14)

Из 2^') d+c₁=c+d₁ (2^'')

d₁b+c₁b₁=cb₁+d₁b₁ (15)

(14)+(15) (13) (12) (11) (5)

Таким образом равенство (5) верно.

Из (4) и (5) (3). Лемма доказана.

Теорема 1. <Z ,∙> - абелев моноид.

Доказательство.

1) Из определения 42 и леммы 1 операция ∙ является алгебраической на Z.

Так как ø , то Z^'≠0 <Z^',∙> - группоид.

2) Покажем, что <Z,∙> - полугруппа.

Пусть α=( ), , Z.

Тогда =( ) = ,

= x=y <Z,∙> - полугруппа.

3) Покажем, что <Z,∙> - абелева полугруппа.

Пусть α=( ), Z.

=( ) = .

= x=y <Z,∙>- абелева полугруппа.

Покажем, что <Z,∙> - абелев моноид.

℮= Z, причем Z:

℮= .

Покажем, что x=α.

Действительно, an + a+ n + n=an + bn + b + a x=α.

Из 1) и 4) <Z,∙> - абелев моноид. Теорема доказана.

 

Теорема 2. <Z,+,∙> - кольцо ассоциативности с единицей.

Доказательство.

1. По теореме 33 <Z,+> - абелева группа.

2. По теореме 34 <Z,∙> - группоид.

3. Покажем, что в Z выполняются дистрибутивные законы.

Пусть α=( ), , Z. Тогда (α+β)γ=(a+c,b+d)∙(m,n)= ,

αγ+βγ= + = x=y выполняется правый дистрибутивный закон выполняется левый дистрибутивный закон

Из 1)-3) <Z,+,∙> - кольцо <Z,+,∙> - ассоциативное кольцо с единицей. Теорема доказана.

 

§15. Разбиение множества Z´N на классы эквивалентности. Множества рациональных чисел

Определение 1. Кольцом рациональных чисел называется минимальное поле, содержащее Z в качестве своего подкольца.

Определение 1 согласуется с принципами расширения 1-4. Действительно, при F₁=Z и при F₂= Q получаем:

1) ZÍQ

2) В Q выполняются операции “+” “·” и “–”, причем их смысл одинаков.

3) В Q выполняется операция деления, то есть умножение с обратным элементом, а в Z эта операция выполняется частично.

4) Q- минимальная система, удовлетворяющая 1-3.

Для того, чтобы доказать, что множество рациональных чисел существует, его нужно построить, то есть построить его модель.

Рассмотрим множество Z´N. Оно состоит

На множестве Z N введем отношение ~.

Определение 2. Упорядоченные пары (a,b) и (c,d) из называются равносильными и обозначают (a,b) ~ (c,d), если a·d=b·c.

Таким образом

Лемма 1. Отношение ~ на множестве является отношением эквивалентности.

Доказательство.

4. Рефлексивность. , так как a·b=b·a.

5. Симметричность.

Пусть

6. Транзитивность.

Пусть Покажем, что

Из 1 следует, что a·d=b·c

Из 2 следует, что c·n=d·m

a·d·c·n ·=b·c·d·m a·n ·=b·m 3

Из 1-3 следует, что отношение ~ является отношением эквивалентности.

По основной теореме об отношении эквивалентности множество разбивается отношением ~ на непересекающиеся классы.

Определение 3. Множество (по отношению ~) всех классов эквивалентности, на которые разбивается множество отношением ~, обозначается Q и называется множеством рациональных чисел, а его элементы называются рациональными числами.