 |
|
Приклади розв’язування типових задач
Задача 4.1. Яка ймовірність того, що при 5 підкиданнях монети від 2 до 4 разів випаде герб?
Розв’язання. Якщо 
– ймовірність того, що при 5 підкиданнях монети випало рівно k гербів, то шукана ймовірність дорівнює:
Відповідь: 25/32.
Задача 4.2.Ймовірність випуску бракованого виробу дорівнює 0,02. Чому дорівнює ймовірність того, що у партії зі 100 виробів бракованих буде не більше 3?
Розв’язання. Скористаємося теоремою Пуассона. У даному випадку 
Тоді
Відповідь: 0,8571.
Задача 4.3.Монету підкидають 100 разів. Яка ймовірність того, що загальне число випадань герба буде у межах від 45 до 55?
Розв’язання. За умовою задачі 
Скористаємося інтегральною теоремою Муавра-Лапласа. k1=45, k2=55. Тоді
.
Відповідь: 0,6826.
Задача 4.4.Ймовірність того, що в кіровоградському універмазі можна побачити костюм Чернівецького швейного об’єднання “Трембіта”, дорівнює 0,004. Яка ймовірність того, що з 1000 куплених костюмів 5 виготовлено на “Трембіті”?
Розв’язання. За умовою задачі п=1000, р=0,004, λ=пр=4, k=5. Використовуючи формулу Пуассона, отримаємо:
Рп(k) 
, 
.
Відповідь: 0,1563.
Індивідуальні завдання для самостійної роботи
Проводиться nнезалежних випробувань. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р. Знайти ймовірність того, що: а) подія А відбудеться рівно k разів;
б) подія А відбудеться не менше k разів;
в) подія А відбудеться принаймні один раз.
| № | n | p | k | № | n | p | k |
| 0,7 | 0,6 | ||||||
| 0,8 | 0,5 | ||||||
| 0,6 | 0,9 | ||||||
| 0,9 | 0,6 | ||||||
| 0,8 | 0,7 | ||||||
| 0,9 | 0,9 | ||||||
| 0,9 | 0,6 | ||||||
| 0,5 | 0,8 | ||||||
| 0,9 | 0,7 | ||||||
| 0,8 | 0,9 | ||||||
| 0,7 | 0,8 | ||||||
| 0,6 | 0,9 | ||||||
| 0,7 | 0,7 | ||||||
| 0,6 | 0,7 | ||||||
| 0,8 | 0,6 |
Проводиться nнезалежних випробувань. Ймовірність появи події при одному випробуванні дорівнює р. Знайти ймовірність того, що: а) подія А відбудеться рівно k разів;
б) подія А відбудеться не менше k 1 разів і не більше k 2 разів.
| № | n | p | k | k1 | k2 | № | n | p | k | k1 | k2 |
| 0,8 | 0,7 | ||||||||||
| 0,9 | 0,8 | ||||||||||
| 0,6 | 0,9 | ||||||||||
| 0,8 | 0,8 | ||||||||||
| 0,9 | 0,6 | ||||||||||
| 0,7 | 0,9 | ||||||||||
| 0,9 | 0,8 | ||||||||||
| 0,7 | 0,6 | ||||||||||
| 0,8 | 0,7 | ||||||||||
| 0,6 | 0,8 | ||||||||||
| 0,9 | 0,9 | ||||||||||
| 0,8 | 0,6 | ||||||||||
| 0,7 | 0,8 | ||||||||||
| 0,6 | 0,7 | ||||||||||
| 0,8 | 0,7 |
1. Імовірність влучення під час одного пострілу дорівнює 0,4. Скільки треба зробити пострілів, щоб імовірність принаймні одного влучення була не меншою 0,9.
2. У підручнику допущено 50 помилок на 500 сторінках. Яка ймовірність того, що у розділі з 30 сторінок допущено: а) 2? б) менше 2? в) 0 помилок?
3. У середньому з 200 ламп за місяць виходить з ладу 1 лампочка. Всього встановили 400 ламп. Яка ймовірність того, що за місяць вийде з ладу: а) 3 лампочки? б) не менше 3 лампочок? в) 0 лампочок?
4. Яка ймовірність того, що при 10 підкиданнях монети випаде герб: а) від 4 до 6 разів? б) не менше 4 разів? в) 0 разів?
5. У фірмі немає в середньому 5% деталей, поданих у каталозі. Надійшло замовлення на 8 деталей. Яка ймовірність того, що всі вони є у фірмі?
6. Монетку підкидають 6 разів. Яка ймовірність того, що вона впаде гербом вверх не більше трьох разів?
7. Батарея зробила 14 пострілів по об’єкту, ймовірність влучення в який 0,2. Обчислити: а) найбільш імовірне число влучень і його ймовірність; б) ймовірність того, що було не менше 4 влучень.
8. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,8. Скільки треба зробити пострілів, щоб найімовірніше число влучень було 20?
9. Двоє кидають монетку по 10 разів. Знайти ймовірність того, що в них однакову кількість разів випаде герб.
10. Середній брак при виробництві продукції на підприємстві становить 0,1%. Перевіряється партія з 1000 деталей. Яка ймовірність того, що бракованими буде: а) від 2 до 4 деталей? б) 1 деталь? в) не більше 3 деталей?
11. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,001. Знайти ймовірність двох і більше влучень, якщо було зроблено 5000 пострілів.
12. По каналу зв’язку передається 1000 знаків. Кожен знак може бути викривлений з імовірністю 0,004. Знайти ймовірність того, що буде викривлено не більше 3 знаків.
13. Визначити ймовірність того, що у сім’ї, яка має 5 дітей, буде не більше трьох дівчаток. Ймовірності народження хлопчика й дівчинки для спрощення обчислень вважати однаковими.
14. Є 100 урн з білими й чорними кульками. Ймовірність появи білої кульки з кожної урни дорівнює 0,6. Знайти найімовірніше число урн, у яких всі кульки білі.
15. Монетку підкидають 18 разів. Яка ймовірність того, що 8 разів вона впаде гербом вверх?
16. Перший робітник за зміну може виготовити 120 виробів, а другий – 140 виробів, причому ймовірності того, що ці вироби вищого сорту, складають відповідно 0,94 і 0,8. Визначити найімовірніше число виробів вищого сорту, виготовлених кожним робітником.
17. Імовірність успіху в кожному випробуванні дорівнює 0,25. Яка ймовірність того, що при 300 випробуваннях успішними будуть: а) рівно 75 випробувань? б) рівно 85 випробувань ?
18. Імовірність виробництва бракованого виробу дорівнює 0,005. Чому дорівнює ймовірність того, що з 10000 вибраних навмання виробів бракованих буде не менше 60?
19. У корзині 100 білих і 80 чорних кульок. З корзини виймають п кульок (з поверненням кожної вийнятої кульки). Найімовірніше число появ білої кульки дорівнює 11. Знайти п.
20. Імовірність виходу з ладу за час t одного приладу дорівнює 0,1. Визначити ймовірність того, що за час t зі 100 приладів вийдуть з ладу: а) не менше 20; б) менше 15?; в) від 6 до 18 приладів.
21. Двоє кидають монетку по 14 разів. Знайти ймовірність того, що в них однакову кількість разів випаде герб.
22. Є 20 ящиків однорідних деталей. Ймовірність того, що в одному, взятому навмання, ящику деталі виявляться стандартними, дорівнює 0,75. Знайти найімовірніше число ящиків, в яких всі деталі стандартні.
23. Монетку підкидають 8 разів. Яка ймовірність того, що 6 разів вона впаде гербом вверх?
24. У класі 20 хлопчиків і 10 дівчаток. На кожне з трьох питань, заданих вчителем, відповіли по одному учню. Яка ймовірність того, що серед учнів, які відповідали, було два хлопчика й одна дівчинка?
25. Ймовірність влучення стрільцем в ціль дорівнює 0,7. Зроблено 25 пострілів. Визначити найімовірніше число влучень в ціль.
26. У результаті багаторічних спостережень встановлено, що ймовірність випадання дощу 1 жовтня в м. Кіровограді дорівнює 1/7. Визначити найімовірніше число дощових днів 1 жовтня в м. Кіровограді за 40 років.
27. Визначити ймовірність того, що у сім’ї, яка має 5 дітей, буде три дівчинки і два хлопчики. Ймовірності народження хлопчика р=0,515.
28. У кожному з чотирьох ящиків по 5 білих і по 15 чорних кульок. З кожного ящик вийняли по одній кульці. Яка ймовірність вийняти дві білих і дві чорних кульки?
29. Монетку підкидають 12 разів. Яка ймовірність того, що не менше п’яти разів вона впаде гербом вверх?
30. У корзині 10 білих і 40 чорних кульок. Виймають підряд 14 кульок, причому колір вийнятої кульки реєструють, а потім кульку повертають в корзину. Визначити найімовірніше число появ білої кульки.