 |
|
Область определения функции, в которой есть дробь
Как исследовать функцию и построить её график?
1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции.
2) Асимптоты графика функции.
3) Нули функции, интервалы знакопостоянства.
4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.
5) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика.
6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.
Как найти область определения функции?
Примеры решений
Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной 
. Её область определения – это множество значений «икс», для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: 
– значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала 
, или из 
, или из 
, то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».
Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал 
и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.
Область определения функции, в которой есть дробь
Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь 
. Как вы знаете, на ноль делить нельзя: 
, поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции.
Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде 
и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби:
Пример 1
Найти область определения функции
Решение: в числителе ничего особенного нет, а вот знаменатель должен быть ненулевым. Давайте приравняем его к нулю и попытаемся найти «плохие» точки:
Полученное уравнение имеет два корня: 
. Данные значения не входят в область определения функции. Действительно, подставьте 
или 
в функцию и вы увидите, что знаменатель обращается в ноль.
Ответ: область определения: 
Запись читается так: «область определения – все действительные числа за исключением множества, состоящего из значений ». Значок обратного слеша в математике обозначает логическое вычитание, а фигурные скобки – множество. Ответ можно равносильно записать в виде объединения трёх интервалов:
Найти область определения функции
Решение: попытаемся найти точки, в которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение:
Дискриминант получился отрицательным, а значит, действительных корней нет, и наша функция определена на всей числовой оси.
Ответ: область определения: 