Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции
Рассмотрим некоторую функцию . Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой: На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ, как расположен график функции относительно оси (выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём. Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на интервале . Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция убывает на интервалах . Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие. Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие в первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие во 2-ом определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности). Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно. Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрыватьсяинтервалыстрогой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции). Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. Но вы не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа, термин мне потребовался в целях строже сформулировать определения точек экстремума. Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Пример: точка оси абсцисс и её симметричная - окрестность: Точка называется точкой строгого максимума, если существует её окрестность,для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . В нашем конкретном примере это точка . Точка называется точкой строгого минимума, если существует её окрестность,для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . На чертеже – точка «а». Точки называют точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума. Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Крайние экстремальные точки американских горок. В ряде источников я встречал определение точек экстремума через стандартную Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!): Точка называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство . Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция , к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения светилам науки, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» или «принцессой болота» . Как разновидность, встречается остриё, направленное вверх либо вниз, например, минимум функции в точке . Да, кстати, о королевских особах: Общее название – экстремумы функции. Пожалуйста, будьте аккуратны в словах! Точки экстремума – это «иксовые» значения. ! Примечание: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции. Сколько может быть экстремумов у функции? Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов. ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение максимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение минимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума, а экстремумы – локальными экстремумами. Ходят-бродят неподалёку и глобальныесобратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум илиглобальный максимум. Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох. Чайникам на первых порах рекомендую создать и осмыслить небольшой терминологический конспект, чтобы не путать Иран с Ираком. Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»? Формулировка побуждает найти: – интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание); – точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы ;-) Как всё это определить? С помощью производной функции!
Как найти интервалы возрастания, убывания, Многие правила, по сути, уже известны и понятны с предыдущего урока. Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию . Тогда: – если производная на интервале, то функция возрастает на данном интервале; – если производная на интервале, то функция убывает на данном интервале. Примечание: справедливы и обратные утверждения. Пусть точка принадлежит области определения функции . Данная точка называется критической, если в ней производная равна нулю: либо значения не существует. Критическая точка может быть точкой экстремума. А может и не быть. Очень скоро мы рассмотрим необходимые и достаточные условия существования экстремума. Но сначала Производная кубической функции неотрицательна: Функция обитает на промежутке , а её производная неравенством однозначно показывает, что «корень из икс» строго растёт на интервале В критической точке функция определена, но не дифференцируема. Примечание: согласно информации первого параграфа, точка не является точкой минимума функции (хотя «по понятиям» это вроде бы так). Дело в том, что определения точек максимума и минимума предполагают существование функции Стандартная гипербола идёт «сверху вниз», то есть данная функция убывает на всей области определения. Что и показывает её производная: Экспоненциальная функция растёт на всей числовой прямой (для любого значения «икс» справедливо строгое неравенство ). Исследуя же производную , легко сделать вывод, что функция наоборот – убывает на . Что делает натуральный логарифм Начертите/распечатайте на соседних либо одном чертеже (иль просто представьте в уме) графики функции и её производной . Там, где график косинуса находится над осью , синус растёт. Обратно – где график расположен ниже оси абсцисс, синус убывает. А в тех точках, где косинус пересекает ось ( ), синусоида достигает минимума или максимума. Аналогичная история с косинусом и его производной (второй кадр запечатлён в статье Геометрические преобразования графиков). Производная тангенса несёт бодрую весть о том, что функция возрастает на всей области определения. С котангенсом и его производной ситуация ровно противоположная. Арксинус на интервале растёт – производная здесь положительна: . Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной. Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|