 |
|
Наклонные асимптоты графика функции
Наклонные (как частный случай – горизонтальные) асимптоты могут нарисоваться, если функция стремится к «плюс бесконечности» или/и «минус бесконечности». Поэтому график функции не может иметь больше 2-х наклонных асимптот. Например, график экспоненциальной функции 
обладает единственной горизонтальной асимптотой при 
, а график арктангенса 
при 
– двумя такими асимптотами, причём различными.
Когда график и там и там сближается с единственной наклонной асимптотой, то «бесконечности» принято объединять под единой записью 
. Например, …правильно догадались: 
.
общее практическое правило:
Если существуют два конечных предела 
, то прямая 
является наклонной асимптотой графика функции 
при . Если хотя бы одиниз перечисленных пределов бесконечен, то наклонная асимптота отсутствует.
Примечание: формулы остаются справедливыми, если «икс» стремится только к «плюс бесконечности» или только к «минус бесконечности».
Докажем, что у параболы 
нет наклонных асимптот:
Предел бесконечен, значит, наклонная асимптота отсутствует. Заметьте, что в нахождении предела 
необходимость отпала, поскольку ответ уже получен.
Примечание: если у вас возникли (или возникнут) трудности с пониманием знаков «плюс-минус», «минус-плюс», пожалуйста, посмотрите справку в начале урока
о бесконечно малых функциях, где я рассказал, как правильно интерпретировать данные знаки.
Очевидно, что у любой квадратичной, кубической функции, многочлена 4-ой и высших степеней также нет наклонных асимптот.
А теперь убедимся, что при 
у графика 
тоже нет наклонной асимптоты. Для раскрытия неопределённости используем правило Лопиталя:
, что и требовалось проверить.
При функция неограниченно растёт, однако не существует такой прямой, к которой бы её график приближался бесконечно близко.
Найти асимптоты графика функции
Решение удобно разбить на два пункта:
1) Сначала проверяем, есть ли вертикальные асимптоты. Знаменатель обращается в ноль при 
, и сразу понятно, что в данной точке функция терпит бесконечный разрыв, а прямая, заданная уравнением , является вертикальной асимптотой графика функции . Но, прежде чем оформить такой вывод, необходимо найти односторонние пределы:
Напоминаю технику вычислений, на которой я подобно останавливался в статье Непрерывность функции. Точки разрыва. В выражение под знаком предела вместо «икса» подставляем 
. В числителе ничего интересного:
.
А вот в знаменателе получается бесконечно малое отрицательное число:
, оно и определяет судьбу предела.
Левосторонний предел бесконечный, и, в принципе уже можно вынести вердикт о наличии вертикальной асимптоты. Но односторонние пределы нужны не только для этого – они ПОМОГАЮТ ПОНЯТЬ, КАКрасположен график функции и построить егоКОРРЕКТНО. Поэтому обязательно вычислим и правосторонний предел:
Вывод: односторонние пределы бесконечны, значит, прямая является вертикальной асимптотой графика функции при 
.
2) Проверим наличие наклонных асимптот:
Первый предел конечен, значит, необходимо «продолжить разговор» и найти второй предел:
Второй предел тоже конечен.
Таким образом, наша асимптота:
ывод: прямая, заданная уравнением 
является горизонтальной асимптотой графика функции при 
.
Для нахождения горизонтальной асимптоты
можно пользоваться упрощенной формулой:
Если существует конечный предел 
, то прямая 
является горизонтальной асимптотой графика функции при .
Нетрудно заметить, что числитель и знаменатель функции 
одного порядка роста, а значит, искомый предел будет конечным:
Ответ: 
По условию не нужно выполнять чертёж, но если в самом разгаре исследование функции, то на черновике сразу же делаем набросок:
Исходя из трёх найденных пределов 
, попытайтесь самостоятельно прикинуть, как может располагаться график функции . Совсем трудно? Найдите 5-6-7-8 точек и отметьте их на чертеже. Впрочем, график данной функции строится с помощью преобразований графика элементарной функции, и читатели, внимательно рассмотревшие Пример 21 указанной статьи легко догадаются, что это за кривая.
Найти асимптоты графика функции
Решение: Раз, два и готово:
1) Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва, поэтому нужно проверить, обращается ли знаменатель в ноль. Решим квадратное уравнение:
Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два действительных корня, и работы значительно прибавляется =)
В целях дальнейшего нахождения односторонних пределов квадратный трёхчлен удобно разложить на множители:
(для компактной записи «минус» внесли в первую скобку). Для подстраховки выполним проверку, мысленно либо на черновике раскрыв скобки.
Перепишем функцию в виде 
Найдём односторонние пределы в точке 
:
И в точке 
:
Таким образом, прямые 
являются вертикальными асимптотами графика рассматриваемой функции.
2) Если посмотреть на функцию 
, то совершенно очевидно, что предел 
будет конечным и у нас горизонтальная асимптота. Покажем её наличие коротким способом:
Таким образом, прямая 
(ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика данной функции.
Ответ: 
Найденные пределы и асимптоты дают немало информации о графике функции. Постарайтесь мысленно представить чертёж с учётом следующих фактов:
Схематично изобразите вашу версию графика на черновике.
Конечно, найденные пределы однозначно не определяют вид графика, и возможно, вы допустите ошибку, но само упражнение окажет неоценимую помощь в ходе полного исследования функции. Правильная картинка – в конце урока.
Найти асимптоты графика функции
Решение: классика жанра:
1) Поскольку знаменатель положителен, то функция непрерывна на всей числовой прямой, и вертикальные асимптоты отсутствуют. …Хорошо ли это? Не то слово – отлично! Пункт №1 закрыт.
2) Проверим наличие наклонных асимптот:
Первый предел конечен, поэтому едем дальше. В ходе вычисления второго предела для устранения неопределённости «бесконечность минус бесконечность» приводим выражение к общему знаменателю:
Второй предел тоже конечен, следовательно, у графика рассматриваемой функции существует наклонная асимптота:
Вывод: 
Таким образом, при график функции бесконечно близко приближается к прямой :
Заметьте, что он пересекает свою наклонную асимптоту в начале координат, и такие точки пересечения вполне допустимы – важно, чтобы «всё было нормально» на бесконечности (собственно, речь об асимптотах и заходит именно там).
Найти асимптоты графика функции
Решение: комментировать особо нечего, поэтому оформлю примерный образец чистового решения:
1) Вертикальные асимптоты. Исследуем точку 
.
Прямая является вертикальной асимптотой для графика 
при 
.
2) Наклонные асимптоты:
Прямая 
является наклонной асимптотой для графика при .
Ответ: 
Исследовать график функции на наличие асимптот
Решение: функция непрерывна на всей числовой прямой, значит, вертикальные асимптоты отсутствует. Но вот наклонные вполне могут быть. Проверяем:
Вспоминаю, как ещё в ВУЗе столкнулся с похожей функцией и просто не мог поверить, что у неё есть наклонная асимптота. До тех пор, пока не вычислил второй предел:
Строго говоря, здесь две неопределённости: 
и 
, но так или иначе, нужно использовать метод решения, который разобран в Примерах 5-6 статьи о пределах повышенной сложности. Умножаем и делим на сопряженное выражение, чтобы воспользоваться формулой 
:
Ответ: 
Пожалуй, самая популярная наклонная асимптота.
До сих пор бесконечности удавалось «стричь под одну гребёнку», но бывает, что у графика функции две разные наклонные асимптоты при 
и при :
Исследовать график функции на наличие асимптот
Решение: подкоренное выражение положительно, значит, область определения – любое действительно число, и вертикальных палок быть не может.
Проверим, существуют ли наклонные асимптоты.
Если «икс» стремится к «минус бесконечности», то: 
(при внесении «икса» под квадратный корень необходимо добавить знак «минус», чтобы не потерять отрицательность знаменателя)
Выглядит необычно, но здесь неопределённость «бесконечность минус бесконечность». Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
Таким образом, прямая 
является наклонной асимптотой графика при .
С «плюс бесконечностью» всё тривиальнее:
А прямая 
– при .
Ответ:
, если ;
, если .
Не удержусь от графического изображения:
Это одна из ветвей гиперболы 
.
Исследовать график функции на наличие асимптот
Решение: очевидно, что 
, поэтому рассматриваем только правую полуплоскость, где есть график функции.
1) Функция непрерывна на интервале 
, а значит, если вертикальная асимптота и существует, то это может быть только ось ординат. Исследуем поведение функции вблизи точки 
справа:
Обратите внимание, здесь НЕТ неопределённости (на таких случаях акцентировалось внимание в начале статьи Методы решения пределов).
Таким образом, прямая (ось ординат) является вертикальной асимптотой для графика функции при 
.
2) Исследование на наклонную асимптоту можно провести по полной схеме, но в статьеПравилаЛопиталя
мы выяснили, что линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифмическая, следовательно:
(см. Пример 1 того же урока). Вывод: ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика функции при .
Ответ:
, если ;
, если .
Чертёж для наглядности:
Нули функции. Интервалы знакопостоянства функции.
Метод интервалов