Первое достаточное условие экстремума,
которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки . Тогда: – если при переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума; – если при переходе через точку производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума. Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла-росла-росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл-шёл-шёл «сверху вниз», а при переходе через точку развернулся в противоположную сторону. Минимум. Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложитьточки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которыевходят в область определения функции. В рассматриваемом примере с непрерывностью на всё тип-топ, поэтому работаем только с найдёнными критическими точками. Напрашивается метод интервалов, который уже применялся для определенияинтервалов знакопостоянства функции. Так почему бы его не использовать для производной? Ведь производная тоже простая смертная функция, найдёшь её – и делай всё, что хочешь. Внимание! Сейчас мы работаем с ПРОИЗВОДНОЙ, а не с самой функцией! Перед нами парабола , ветви которой направлены вниз, и многим читателям уже понятны знаки производной, но ради повторения снова пройдёмся по всем этапам метода интервалов. Отложим на числовой прямой найденные критические точки: II) Выбираем точку , принадлежащую интервалу , и проводим аналогичное действие: III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке последнего интервала: В результате получены следующие знаки производной: На интервалах производная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ на данных интервалахубывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале , значит, функция возрастает на , и её график идёт «снизу вверх». При переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума: При переходе же через точку производная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке: Ответ: функции возрастает на интервале и убывает на интервалах . В точке функция достигает минимума: , а в точке – максимума: Остерегайтесь сокращенной записи . Под значками обычно понимают минимальное и максимальное значение, а это, как пояснялось выше, далеко не то же самое, что минимум и максимум. Пример так тщательно провёрнут через мясорубку, что грех не привести графическое изображение всех событий. Незнакомец теоретической части статьи снимает шляпу: Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и другое, так называемое 2-ое достаточное условие экстремума. Однако для исследования функцийоно малоинформативно и больше используется в экстремальных задачах. В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере : «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: …Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы…».
Исследовать функцию с помощью первой производной Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание. Решение: 1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках . 2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю: Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: Таким образом, получаем три критические точки: 3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интерваловопределяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ: Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из 6-ти интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу. Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения . В точке функция достигает максимума: Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение ;-) При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей. ! Повторим важный момент: точки не считаются критическими – в них функцияне определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак). Ответ: функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: . Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотамидаёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Вот наш герой:
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|