Первое достаточное условие экстремума,
которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки
. Тогда:
– если при переходе через точку
производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;
– если при переходе через точку
производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.
Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла-росла-росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл-шёл-шёл «сверху вниз», а при переходе через точку
развернулся в противоположную сторону. Минимум.
Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложитьточки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которыевходят в область определения функции.
В рассматриваемом примере с непрерывностью на
всё тип-топ, поэтому работаем только с найдёнными критическими точками.
Напрашивается метод интервалов, который уже применялся для определенияинтервалов знакопостоянства функции. Так почему бы его не использовать для производной? Ведь производная тоже простая смертная функция, найдёшь её – и делай всё, что хочешь.
Внимание! Сейчас мы работаем с ПРОИЗВОДНОЙ, а не с самой функцией!
Перед нами парабола
, ветви которой направлены вниз, и многим читателям уже понятны знаки производной, но ради повторения снова пройдёмся по всем этапам метода интервалов. Отложим на числовой прямой найденные критические точки:
I) Берём какую-нибудь точку интервала
и находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать
:
, значит, производная отрицательна на всём интервале
.
II) Выбираем точку
, принадлежащую интервалу
, и проводим аналогичное действие:
, следовательно,
на всём интервале
.
III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке
последнего интервала:
, поэтому
в любой точке интервала
.
В результате получены следующие знаки производной:
Время собирать урожай!
На интервалах
производная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ
на данных интервалахубывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале
, значит, функция возрастает на
, и её график идёт «снизу вверх».
При переходе через точку
производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума:

При переходе же через точку
производная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке:

Ответ: функции возрастает на интервале
и убывает на интервалах
. В точке
функция достигает минимума:
, а в точке
– максимума: 
Остерегайтесь сокращенной записи
. Под значками
обычно понимают минимальное и максимальное значение, а это, как пояснялось выше, далеко не то же самое, что минимум и максимум.
Пример так тщательно провёрнут через мясорубку, что грех не привести графическое изображение всех событий. Незнакомец теоретической части статьи снимает шляпу:
Что произошло? На первом этапе мы нашли производную
и критические точки
(в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где
(парабола ниже оси) и
(парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.
Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и другое, так называемое 2-ое достаточное условие экстремума. Однако для исследования функцийоно малоинформативно и больше используется в экстремальных задачах.
В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере
: «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю:
…Итак, решение нашего уравнения:
– именно в этой точке и находится вершина параболы…».
Исследовать функцию с помощью первой производной

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.
Решение:
1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках
.
2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение
. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интерваловопределяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:
Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной
и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку
, принадлежащую интервалу
, и выполним подстановку:
.
Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому
, а значит, производная отрицательна и на всём интервале
.
Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из 6-ти интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя
и знаменатель
строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.
Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ
возрастает на
и убывает на
. Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения
.
В точке
функция достигает максимума:
В точке
функция достигает минимума: 
Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение ;-)
При переходе через точку
производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.
! Повторим важный момент: точки
не считаются критическими – в них функцияне определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).
Ответ: функция возрастает на
и убывает на
В точке
достигается максимум функции:
, а в точке
– минимум:
.
Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотамидаёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции
есть две вертикальные асимптоты
и наклонная асимптота
. Вот наш герой:
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке
экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.