Как найти интервалы знакопостоянства функции?
Алгоритм метода интервалов прост и бесхитростен: 1) Находим область определения функции. 2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс). 3) В большинстве заданий потребуется чертёж. Чертим ось и откладываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть). Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения. Пункты можете законспектировать, впрочем, алгоритм очень быстро запомнит даже полный чайник. Тут всё прозрачно и логично. Начнём с распространённой квадратичной функции: Пример 1 Найти интервалы знакопостоянства функции. Решение: 1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, точки разрыва и «нехорошие» промежутки отсутствуют. 2) Найдём нули функции. Для этого нужно решить уравнение . В данном случае: Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня: 3) Откладываем все найденные точки на числовой оси: Хорошо, параболу многие читатели представляют. Но что делать, если функция более сложная? Например, . Заметная часть аудитории уже затруднится сказать, как принципиально выглядит график данной функции. И это, так скажем, ещё только минимальное усложнение. Однако и в простых и в сложных случаях работает универсальный способ: Рассмотрим функцию непрерывную на некотором интервале , график которой не пересекает ось на этом интервале. Тогда: – если функция положительна в какой-либо точке интервала , то она положительна и ВО ВСЕХ точках данного интервала; – если функция отрицательна в какой-либо точке интервала , то она отрицательна и ВО ВСЕХ точках данного интервала. Включите немного воображения: если на интервале нет точек разрыва, и график не пересекает ось абсцисс, то он не может по мановению волшебной палочки перескочить из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость (или наоборот). Поэтому знак функции на таком интервале легко определить по одной-единственной точке. Проведём небольшой эксперимент. Представьте, что вы совсем не знаете, как выглядит график функции и вам необходимо найти её интервалы знакопостоянства (кстати, если действительно не знаете, таки начертите многострадальную примадонну =)). 1) Берём произвольную точку интервала . С вычислительной точки зрения проще всего взять . Подставляем её в нашу функцию: Следовательно, функция положительна ив каждой точке интервала . 2) Берём произвольную точку интервала , здесь по удобству вне конкуренции ноль. Снова выполняем подстановку: А, значит, функция отрицательна ив каждой точке интервала . 3) И, наконец, обрабатываем наиболее простую точку интервала : Поэтому функция положительна в каждой точке интервала . Выполненные подстановки, вычисления почти всегда нетрудно выполнить устно, но в крайнем случае существует и черновик. Фиксируем полученные результаты на числовой оси: Ответ: Точно так же решается целый спектр задач-«сателлитов», вот некоторые из них: Решить квадратичное неравенство . Проводим аналогичные действия и даём ответ . Решить квадратичное неравенство . Проводим аналогичные действия и даём ответ . Найти область определения функции . Проводим аналогичные действия, даём ответ . И т.п. Метод интервалов работает в самых примитивных случаях, например, для функции . Здесь прямая пересекает ось абсцисс в точке , при этом слева от данной точки (график ниже оси ), а справа (график выше оси ). Тем не менее, для тех, кто в танке, задача разрешима и методом интервалов. Может ли функция быть положительно или отрицательной на всей числовой прямой? Конечно, в статье Область определения функции мы рассмотрели типовые примеры. В частности выяснили, что (парабола, полностью лежащая в верхней полуплоскости). Метод интервалов проходит и тут! Рассматриваем единственный интервал , берём из него самую удобную точку и выполняем подстановку: . А значит, функция положительна и в каждой точке интервала . Перейдём к кубическим многочленам: Пример 2 Найти интервалы знакопостоянства функции. Решение: снова придерживаемся алгоритма: 1) Функция определена на всей числовой прямой. 2) Найдём нули функции, то есть решим уравнение . Для этого выполним разложение на множители: Таким образом, нули функции: . 3) Откладываем найденные значения на числовой прямой: Таким образом: Вы можете не знать, как выглядит график функции , но уже, по крайне мере, понятно, где он выше оси , а где ниже. Кубическая функция настолько распространена, что не удержусь от полного чертежа «молнии»: Казалось бы, решение можно упростить: взять левый интервал , выяснить, что на нём функция отрицательна, а дальше знаки будут чередоваться – «плюс», «минус», «плюс». Знакочередование бывает часто, но… ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|