Как найти интервалы знакопостоянства функции?
Алгоритм метода интервалов прост и бесхитростен: 1) Находим область определения функции. 2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс). 3) В большинстве заданий потребуется чертёж. Чертим ось Пункты можете законспектировать, впрочем, алгоритм очень быстро запомнит даже полный чайник. Тут всё прозрачно и логично. Начнём с распространённой квадратичной функции: Пример 1 Найти интервалы знакопостоянства функции. Решение: 1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, точки разрыва и «нехорошие» промежутки отсутствуют. 2) Найдём нули функции. Для этого нужно решить уравнение Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня: 3) Откладываем все найденные точки на числовой оси: Хорошо, параболу многие читатели представляют. Но что делать, если функция более сложная? Например, Однако и в простых и в сложных случаях работает универсальный способ: Рассмотрим функцию – если функция – если функция Включите немного воображения: если на интервале нет точек разрыва, и график не пересекает ось абсцисс, то он не может по мановению волшебной палочки перескочить из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость (или наоборот). Поэтому знак функции на таком интервале легко определить по одной-единственной точке. Проведём небольшой эксперимент. Представьте, что вы совсем не знаете, как выглядит график функции 1) Берём произвольную точку интервала Следовательно, функция положительна ив каждой точке интервала 2) Берём произвольную точку интервала А, значит, функция отрицательна ив каждой точке интервала 3) И, наконец, обрабатываем наиболее простую точку интервала Поэтому функция положительна в каждой точке интервала Выполненные подстановки, вычисления почти всегда нетрудно выполнить устно, но в крайнем случае существует и черновик. Фиксируем полученные результаты на числовой оси: Ответ: Точно так же решается целый спектр задач-«сателлитов», вот некоторые из них: Решить квадратичное неравенство Проводим аналогичные действия и даём ответ Решить квадратичное неравенство Проводим аналогичные действия и даём ответ Найти область определения функции Проводим аналогичные действия, даём ответ И т.п. Метод интервалов работает в самых примитивных случаях, например, для функции Может ли функция быть положительно или отрицательной на всей числовой прямой? Конечно, в статье Область определения функции мы рассмотрели типовые примеры. В частности выяснили, что Перейдём к кубическим многочленам: Пример 2 Найти интервалы знакопостоянства функции. Решение: снова придерживаемся алгоритма: 1) Функция определена на всей числовой прямой. 2) Найдём нули функции, то есть решим уравнение Таким образом, нули функции: 3) Откладываем найденные значения на числовой прямой: Таким образом: Вы можете не знать, как выглядит график функции Кубическая функция настолько распространена, что не удержусь от полного чертежа «молнии»: Казалось бы, решение можно упростить: взять левый интервал ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|