 |
|
Зачем исследовать функцию с помощью производной?
Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.
Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции:
Пример 1
Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции
Решение:
1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также взять на заметкуточки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.
2) Второй пункт алгоритма обусловлен
необходимым условием экстремума:
Если в точке 
есть экстремум, то 
либо значения 
не существует.
Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».
Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства 
ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке 
. Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола 
и её критическая точка 
.
Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение 
:
Получилось обычное квадратное уравнение:
Положительный дискриминант доставляет две критические точки:
Примечание: корни можно традиционно обозначить через 
, однако в ходе полного исследования функции удобнее обойтись без подстрочных индексов, так как они вносят лишние оговорки и путаницу
Итак, 
– критические точки
Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.
3) Нас выручит