Главная | Обратная связь

Достаточное условие перегиба

Если вторая производная при переходе через точку меняет знак, то в данной точке существует перегиб графика функции .

Логично.

Точек перегиба (встретился уже пример) может не быть вовсе, и в этом смысле показательны некоторые элементарные образцы. Проанализируем вторую производную функции :

Получена положительная функция-константа, то есть для любого значения «икс» . Факты, лежащие на поверхности: парабола вогнута на всей области определения, точки перегиба отсутствуют. Легко заметить, что отрицательный коэффициент при «переворачивает» параболу и делает её выпуклой (о чём нам сообщит вторая производная – отрицательная функция-константа).

Экспоненциальная функция также вогнута на :

для любого значения «икс».

Точек перегиба у графика , разумеется, нет.

Исследуем на выпуклость/вогнутость график логарифмической функции :

Таким образом, ветка логарифма является выпуклой на интервале . Вторая производная определена и на промежутке , но рассматривать егоНЕЛЬЗЯ, поскольку данный интервал не входит в область определения функции . Требование очевидно – коль скоро там нет графика логарифма, то ни о какой выпуклости/вогнутости/перегибах речи, естественно, не заходит.

Как видите, всё действительно очень напоминает историю с возрастанием, убыванием и экстремумами функции. Похож и сам алгоритм исследования графика функции на выпуклость, вогнутость и наличие перегибов:

1) На первом шаге находим область определения функции иточки разрыва.

2) Разыскиваем критические значения. Для этого берём вторую производную и решаем уравнение . Точки, в которых не существует 2-ой производной, но которые входят в область определения самой функции – тоже считаются критическими!

3) Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки (ни тех, ни других может не оказаться – тогда чертить ничего не надо (как и в слишком простом случае), достаточно ограничиться письменным комментарием). Методом интервалов определяем знаки на полученных интервалах. Как только что пояснялось, рассматривать следует только те промежутки, которые входят в область определения функции . Делаем выводы о выпуклости/вогнутости и точках перегиба графика функции . Даём ответ.

Попытайтесь устно применить алгоритм для функций . Во втором случае, кстати, пример, когда в критической точке не существует перегиба графика. Впрочем, начнём с ненамного более сложных заданий:

Пример 1

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Очень хорошо.

2) Найдём вторую производную. Можно предварительно выполнить возведение в куб, но значительно выгоднее использовать правило дифференцирование сложной функции:

Заметьте, что , а значит, функция является неубывающей. Хоть это и не относится к заданию, но на такие факты всегда желательно обращать внимание.

Найдём критические точки второй производной:

– критическая точка

3) Проверим выполнение достаточного условия перегиба. Определим знаки второй производной на полученных интервалах .

Внимание! Сейчас работаем со второй производной (а не с функцией!)

Используем метод интервалов. Повторим его ещё разок.

Выберем наиболее выгодную точку интервала и вычислим в ней значение второй производной:
, следовательно, в любой точке интервала .

Из интервала возьмём значение и проведём аналогичное действие:
, а значит, и на всём интервале .

В результате получены следующие знаки второй производной:

Таким образом, график САМОЙ ФУНКЦИИ является выпуклым на интервале и вогнутым на . При переходе через вторая производная меняет знак, поэтому в данной точке существует перегиб графика.

Найдём ординату:

Ответ: график функции выпукл на интервале и вогнут на , в точке существует перегиб графика.

Как вариант, пойдёт и запись «…в точке существует перегиб графика».