Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика
Рассмотрим график функции , которая непрерывна на всей числовой прямой: Назовём хордой отрезок, соединяющий две различные точки графика. График функции является выпуклым на некотором интервале, если он расположен не ниже любой хорды данного интервала. Подопытная линия выпукла на , и, очевидно, что здесь любая часть графика расположена НАД своей хордой. Иллюстрируя определение, я провёл три чёрных отрезка. График функции являются вогнутым на интервале, если он расположен не выше любой хорды этого интервала. В рассматриваемом примере пациент вогнут на промежутке . Пара коричневых отрезков убедительно демонстрирует, что тут и любой кусок графика расположен ПОД своей хордой. Точка графика, в которой он меняет выпуклость на вогнутость или вогнутость на выпуклость, называется точкой перегиба. У нас она в единственном экземпляре (первый случай), причём, на практике под точкой перегиба можно подразумевать как зелёную точку , принадлежащую самой линии, так и «иксовое» значение . ВАЖНО! Перегибы графика следует изображать аккуратно и очень плавно. Недопустимы всевозможные «неровности» и «шероховатости». Дело за небольшой тренировкой. Второй подход к определению выпуклости/вогнутости в теории даётся через касательные: Выпуклый на интервале график расположен не выше касательной, проведённой к нему в произвольной точке данного интервала. Вогнутый же на интервале график – не нижелюбой касательной на этом интервале. Гипербола вогнута на интервале и выпукла на : Более строгие утверждения и теоремы по теме можно найти в учебнике, а мы переходим к насыщенной практической части:
Как найти интервалы выпуклости, интервалы вогнутости Материал прост, трафаретен и структурно повторяет исследование функции на экстремум. Выпуклость/вогнутость графика характеризует вторая производная функции. Пусть функция дважды дифференцируема на некотором интервале. Тогда: – если вторая производная на интервале, то график функции является выпуклым на данном интервале; – если вторая производная на интервале, то график функции является вогнутым на данном интервале. На счёт знаков второй производной по просторам учебных заведений гуляет доисторическая ассоциация: «–» показывает, что «в график функции нельзя налить воду» (выпуклость), ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|