Главная | Обратная связь

Свойства взаимно простых многочленов

Опираясь на полученный результат, можно доказать несколько простых, но важных свойств взаимно простых многочленов:

а) Если многочлен f(x) взаимно прост с каждым из много­-
членов g(x) и h(x), то он взаимно прост и с их произведением.

В самом деле, существуют, по (4), такие многочлены u(х) u v(x), что f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Умножая это равенство на h(x), получаем:

f(x) [u (х) h(x)] + [g (х) h(х)] v(x) = h(x),

откуда следует, что всякий общий делитель ненулевой степени многочленов f(x) и g(х)h(x) был бы делителем и для h(х); однако по условию (f(x), h(x)) =1.

б) Если произведение многочленов f(x) и g(x) делится на h(х),
но f(x) и h(х) взаимно просты, то g(x) делится на h(x).

Умножая равенство f(x)u(x)+h(x)v(x)=1на g(x), мы получим:

f(x) [u(х)g(x)] + [g(х) h(х)] v(x)=g(x).

Оба слагаемых левой части этого равенства делятся на h(х); на него делится, следовательно и g(x).

в) Если многочлен f(х) делится на каждый из многочленов
h(х) и g(х), которые между собой взаимно просты, то f(x)
делится и на их произведение.

Действительно, f(x)=h(x)h₁(x), так что произведение, стоящее справа, делится на g(х). Поэтому, по б), h₁(x) делится на g(x): h₁(x)=g(x)g₁(x), откуда f(x)=[h(x)g(x)]g₁(x).

Замечание. Определение наибольшего общего делителя может быть распро­странено на случай любой конечной системы многочленов: наибольшим общим делителем многочленов f₁(х), f₂(х), ,.., f_s(x) называется такой общий делитель этих многочленов, который делится на любой общий делитель этих многочленов. Существование наибольшего общего делителя для любой конечной системы многочленов вытекает из следующей очевидной теоремы, дающей также способ его вычисления:

Теорема 2. Наибольший общий делитель многочленов f₁(х), f₂(х), ,.., f_s(x) равен наибольшему общему делителю многочлена f_s(x) и наибольшего общего делителя многочленов f₁(х), f₂(х), ,.., f_s-1(x) .

 

Корни многочленов

В школе вы встречались со значениями многочлена. Напомним определение:

Определение 1. Если

f(x)= a₀ +a₁ x¹+…+ a_n-1 x^n-1+a_n xⁿ , (1)

есть некоторый многочлен из P[x], а с – некоторый элемент поля P или любого его расширения, то число f(c)= a₀ +a₁ c¹+…+ a_n-1 c^n-1+a_n cⁿ , полученное заменой в выражении (1) для f(x) неизвестного x числом с и последующим выполнением всех указанных операций, называется значением многочлена f (х) при х = с.

Понятно, что если f(x)= g(x) в смысле алгебраического равенства многочленов, то f(c)=g(c) при любом с.

Определение 2. Если f(c) = 0, т. е. многочлен f(x) обращается в нуль при под­становке в него числа с вместо неизвестного, то число с называется корнем многочлена f(x).

Это определение использует взгляд на многочлен, как функцию. Однако ниже мы найдем равносильное ему «алгебраическое» утверждение.

Если мы будем делить многочлен f(x) на произвольный много­член первой степени (или, как будем говорить дальше, на линейный многочлен), то остаток будет либо некоторым многочленом нулевой степени, либо нулем. Следующая теорема позволяет найти этот остаток, не выполняя самого деления, в случае, когда производится деление на многочлен вида х - с.

Теорема 1. Остаток от деления многочлена f(x) на линейный многочлен х - с равен значению f(с) многочлена f(x) при x = с.

Доказательство. Действительно, пусть f(x) = (x-c)q(x)+r. Отметим, что rÎP. Взяв значения обеих частей этого равенства при х = с, мы получаем: f(c) = (c-c)q(x) + r , или f(с) = r, что доказывает теорему.

Отсюда вытекает исключительно важная

Теорема Безу.Число с тогда и только тогда будет корнем многочлена f(х), если f(x) делится на х-с.

Замечание 1.Теорема Безу показывает, что определение корня можно дать и на языке делимости многочленов. Если f(x) делится на некоторый многочлен первой степени ах-b , то делится, очевидно, и на многочлен х - b/a, т. е. на многочлен вида х - с. Таким образом, в силу теоремы Безу, разыскание корней многочлена f(x) равносильно разысканию его линейных делителей.

 

 

Метод Горнера

Ввиду сказанного выше представляет интерес следующий метод деления многочлена f(x) на линейный двучлен х - с, более простой, чем общий алгоритм деления многочленов. Этот метод называется методом Горнера.

Пусть

f(x) = a₀xⁿ +a₁x^n-1+…+ a_n-1x¹ +a_n, (2)

и пусть

f(x) = (x-c)q(x) + r, (3)

где

q(x) = b₀x^n-1 +b₁x^n-2+…+ b_n-1 (4)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в (3) и учитывая (2) и (4), получаем:

а₀=b₀ ,

а₁=b₁ - cb₀,

а₂=b₂ - cb₁,

_……,

а_n-1=b_n-1 - cb_n-2,

а_n=r - cb_n-1.

Отсюда следует, что b₀= а₀ ; b_k=cb_k-1 + a_k (k=1,..,п-1).

Пример.

1. Разделить f (x) = 2x⁵ - x⁴ - Зx³ + х - 3 на x - 3.

Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f(x), под чертой – соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение с в данном примере:

 

		–1	–3			–3
		3×2–1=5	3×5–3=12	3×12+0=36	3×36+1=109	3×109–3=324

Таким образом, искомое частное будет

q (x) = 2х⁴ + 5x³ +12х² + 36x + 109,

а остаток r=f(3)=324 (мы воспользовались теоремой 1).

Этот пример показывает, что метод Горнера может быть использован также для быстрого вычисления значения многочлена при данном значении неизвестного.

 

 

Кратные корни

Если с — корень многочлена f(x), т. е. f(с)=0, то f(x) делится, как мы знаем, на х-с. Может оказаться, что многочлен f(х) делится не только на первую степень линейного двучлена х-с, но и на более высокие его степени. Во всяком случае найдется такое натуральное число k, что f(x) нацело делится на (х-с)^k, но не делится на (х-c)^k+1. Поэтому

f(x) = (х - с)^kg(x), где многочлен g(х) на (х – с) уже не делится, т. е. число с своим корнем не имеет. Число k называется кратностью корня с много­члена f(x), а сам корень с — k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то говорят, что корень с — простой.

Понятие кратного корня тесно связано с понятием производной от многочлена. Мы изучаем многочлены с коэффициентами из любого поля и поэтому не можем просто восполь­зоваться понятием производной, введенным в курсе математического анализа.

Определение 3. Пусть дан многочлен n-й степени из P[x]:

f(x) = a₀xⁿ +a₁x^n-1+…+ a_n-1x¹ +a_n, a₀≠0.

Его производной (или первой производной) называется многочлен

f ^/(x) = na₀x^n-1 +(n-1)a₁x^n-2+…+ a_n-1.

Нетрудно видеть, что если f(x)ÎP[x] ,то и f^/(x)ÎP[x].

Производная от многочлена нулевой степени и от нуля считается равной нулю. Производная от первой производной называется вто­рой производной от многочлена f(x) и обозначается через f ^//(x) и т. д. Очевидно, что f⁽ⁿ⁾(x) = n!a₀ и поэтому f^[n+1] (х) = 0, т. е. (n+1)-я производная от многочлена n-й степени равна нулю.

Замечание 2. Производная многочлена n-ой степени (n>0) не обязательно будет многочленом (n-1)-ой степени. Так, если P – поле характеристики 2, то (x²+1)¢=2x=(1+1)x=0. Но если P – поле характеристики нуль, то при a₀¹0 число na₀¹0 при любом n, и потому при n³1 производная многочлена n-ой степени под таким полем имеет степень (n-1).

Теорема 2. Пусть P – поле характеристики нуль. Если число с является k-кратным корнем многочлена f(x)ÎP[x], то при k>1 оно будет (k - 1) кратным корнем первой произ­водной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f^/(х).

Доказательство. В самом деле, пусть

f(x)= (х - с)^kg(x), (5)

где g(x) уже не делится на (х – с). Дифференцируя равенство (5), получаем:

f'(x) = k(x - с)^{k-1 g}(x) + (x - с)^k g^/(x) , откуда f'(x) = (x - с)^k-1 [kg(x) + (x-c)g^/(x)].

Первое слагаемое суммы, стоящей в квадратных скобках, делится на (х-с), а второе на (х-с) не делится, (ибо kg(x)¹0, т.к. P – поле характеристики нуль); поэтому вся эта сумма на (х-с) не может делиться. Учитывая, что частное от деления f(x) на (х - c)^k-1 определено однозначно, мы получаем, что (х-с)^k-1 является наибольшей степенью двучлена х-с, на которую делится многочлен f (x), что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Применяя эту теорему несколько раз, мы получаем

Следствие 1. k - кратный корень многочлена f(x) над полем характеристики нуль будет (k - s)-кратным s-й произ­водной, этого многочлена (k³s) и впервые не будет служить корнем для k-й производной от f(x).

Отсюда нетрудно получить

Следствие 2.Если f(x) – многочлен над полем характеристики нуль и для некоторого числа c f(c)=f ´(c)=…=f ^(k-1) (c)=0, но f ^(k) (c)≠0, то

c – корень кратности k многочлена f(x).