Комплексный нормальный вид
Рассмотрим квадратичные формы над полем С комплексных чисел. Из канонических видов (20) такой квадратичной формы можно выбрать наиболее простой: для этого возьмем в (19) числа такими, чтобы , т.е. (21). Тогда после линейного преобразования (19) с этими (комплексными) коэффициентами вид (20) будет таким: (22) . Такой канонический вид называют комплексным нормальным видом, или нормальным видом над . Он определяется только рангом квадратичной формы . Это канонический вид, в котором все квадраты входят с коэффициентом либо +1, либо 0.
Действительный нормальный вид Рассмотрим квадратичную форму над полем действительных чисел и её канонические виды (20): . Коэффициенты в (20) действительные. Как получить “наиболее простой” из этих действительных канонических видов? Формулы (21) нам не помогут, если , ибо здесь мы имеем право совершать линейные преобразования только с действительными коэффициентами. Совершим линейное преобразование (19) с действительными коэффициентами (23), , , Тогда (20) имеет следующий вид: (24) , где (25). Этот канонический вид называют действительным нормальным видом, или нормальным видом над полем . С точностью до нумерации неизвестных его можно записать так: (26).
§5. Закон инерции действительных квадратичных форм Естественно возникает вопрос: сколько действительных нормальных видов (ДНВ) может быть у действительной квадратичной формы? Теорема 5.Если квадратичная форма в двух базисах действительного линейного пространства имеет действительные нормальные виды (26) и (27), то (28). Доказательство. Предположим противное. Не нарушая общности, можно считать, что (29). Пусть имеет ДНВ (26) в базисе , а ДНВ (27) – в базисе . Рассмотрим следующие два подпространства: линейную оболочку (30) и линейную оболочку . (31) Тогда (32) (ибо – базис ), а (33) (в силу (31)). Рассмотрим сумму . Имеем: (34). Но – подпространство линейного пространства , поэтому . Отсюда и из (34) получаем: . Отсюда и из неравенства (29) получаем: , т.е. . Значит, . Так как , то из (31) следует: (35). Если теперь в ДНВ (26) подставить координаты вектора , то получим: , т.е. (36) (равенство нулю возможно, если, например, только ). С другой стороны, из следует: (37), где , Отметим, что , и поэтому . Подставив координаты вектора в (27), получим: (38) . Неравенство (38) противоречит неравенству (36). Значит, наше предположение ложно. Аналогично ложно и . Таким образом , . Теорема доказана. Определение 8. Число положительных квадратов в действительном нормальном виде действительной квадратичной формы называется положительным индексом инерции , число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции . Разность называется сигнатурой квадратичной формы . Замечание 6.Закон инерции означает единственность действительного нормального вида с точностью до обозначений. Нетрудно доказать следующее: Утверждение. Если и – две действительные квадратичные формы, то одну из них можно перевести в другую с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же действительный нормальный вид.
Доказательство.
Если , то . И наоборот, если , то ДНВ(1) и ДНВ(2) – два действительных нормальных вида и по закону инерции они совпадают. Утверждение доказано.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|