 |
|
Комплексный нормальный вид
Рассмотрим квадратичные формы над полем С комплексных чисел.
Из канонических видов (20) такой квадратичной формы можно выбрать наиболее простой: для этого возьмем в (19) числа 
такими, чтобы 
, т.е. 
(21). Тогда после линейного преобразования (19) с этими (комплексными) коэффициентами вид (20) будет таким:
(22) . Такой канонический вид называют комплексным нормальным видом, или нормальным видом над 
.
Он определяется только рангом квадратичной формы 
. Это канонический вид, в котором все квадраты входят с коэффициентом либо +1, либо 0.
Действительный нормальный вид
Рассмотрим квадратичную форму над полем 
действительных чисел и её канонические виды (20): 
. Коэффициенты в (20) действительные.
Как получить “наиболее простой” из этих действительных канонических видов?
Формулы (21) нам не помогут, если 
, ибо здесь мы имеем право совершать линейные преобразования только с действительными коэффициентами.
Совершим линейное преобразование (19) с действительными коэффициентами 
(23), , 
, 
Тогда (20) имеет следующий вид:
(24) , где 
(25). 
Этот канонический вид называют действительным нормальным видом, или нормальным видом над полем .
С точностью до нумерации неизвестных его можно записать так: 
(26).
§5. Закон инерции действительных квадратичных форм
Естественно возникает вопрос: сколько действительных нормальных видов (ДНВ) может быть у действительной квадратичной формы?
Теорема 5.Если квадратичная форма 
в двух базисах действительного линейного пространства 
имеет действительные нормальные виды (26) и 
(27), то 
(28).
Доказательство. Предположим противное. Не нарушая общности, можно считать, что 
(29). Пусть имеет ДНВ (26) в базисе 
, а ДНВ (27) – в базисе 
.
Рассмотрим следующие два подпространства: линейную оболочку 
(30) и линейную оболочку 
. (31) Тогда 
(32) (ибо 
– базис ), а 
(33) (в силу (31)).
Рассмотрим сумму 
. Имеем:
(34).
Но 
– подпространство линейного пространства , поэтому 
. Отсюда и из (34) получаем: 
. Отсюда и из неравенства (29) получаем: 
, т.е. 
. Значит, 
. Так как 
, то из (31) следует: 
(35). Если теперь в ДНВ (26) подставить координаты вектора 
, то получим: 
, т.е. 
(36) (равенство нулю возможно, если, например, только 
).
С другой стороны, из 
следует: 
(37), где 
, 
Отметим, что 
, и поэтому 
. Подставив координаты вектора в (27), получим: 
(38) .
Неравенство (38) противоречит неравенству (36). Значит, наше предположение ложно. Аналогично ложно и 
. Таким образом , .
Теорема доказана.
Определение 8. Число положительных квадратов в действительном нормальном виде действительной квадратичной формы называется положительным индексом инерции 
, число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции 
. Разность 
называется сигнатурой квадратичной формы .
Замечание 6.Закон инерции означает единственность действительного нормального вида с точностью до обозначений.
Нетрудно доказать следующее:
Утверждение. Если и 
– две действительные квадратичные формы, то одну из них можно перевести в другую с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же действительный нормальный вид.
Доказательство.
Если 
, то 
. И наоборот, если 
, то ДНВ(1) и ДНВ(2) – два действительных нормальных вида и по закону инерции они совпадают.
Утверждение доказано.