Положительно определенные квадратичные формы
Определение 9.Квадратичная форма , заданная на действительном линейном пространстве , называется положительно определенной, если для любого . Теорема 6. Действительная квадратичная форма на -мерном линейном пространстве положительно определенная тогда и только тогда, когда её действительный нормальный вид таков: (39) (т.е. в нем нет квадратов с коэффициентами 0 и –1; другими словами, ранг и её положительный индекс равны ). Необходимость.Пусть – положительно определенная квадратичная форма. Будем доказывать от противного: пусть в её ДНВ существует квадрат с коэффициентом (–1) или 0. Тогда (40) либо (41) (виды (40) и (41) – в некотором базисе линейного пространства ). Рассмотрим вектор , у которого координаты в этом базисе таковы: , а остальные равны 0, т.е. : . Тогда в силу (40) и (41) либо , либо , т.е. , что вступает в противоречие с определением положительно определенной квадратичной формы (ибо ). Значит, имеет ДНВ (39). Достаточность.Пусть (39) – действительный нормальный вид в некотором базисе . Тогда с координатным столбцом в этом базисе имеем: (ибо ). Значит, – положительно определенная квадратичная форма. Замечание 7. С помощью этой теоремы не очень удобно определять, будет ли положительно определенной (надо приводить её к ДНВ). Есть более удобный способ. Определение 10. Пусть – некоторая квадратная матрица. Её миноры 1-го, 2-го,…, -го порядка, расположенные в левом верхнем углу, называются главными минорами матрицы . Если – матрица квадратичной формы , то главные миноры матрицы называются главными минорами . Теорема(критерий Сильвестра).Действительная квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все её главные миноры больше нуля. Доказательство этой теоремы можно найти в любом учебнике линейной алгебры. Здесь мы его не приводим. Определение 11.Квадратичная форма , заданная на линейном пространстве , называется отрицательно определенной, если . Если отрицательно определенная форма, то, очевидно, – положительно определенная квадратичная форма, т.е. – действительный нормальный вид , а тогда – действительный нормальный вид отрицательно определенной квадратичной формы . В матрице отрицательно определённой квадратичной формы, как нетрудно видеть, знаки главных миноров чередуются.
ГЛАВА 2. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|