Главная | Обратная связь

Скалярное произведение

Рассматриваем только действительные линейные пространства. В них можно ввести скалярное произведение векторов, обобщающее это понятие, известное для векторов-отрезков.

Определение 1.Пусть V – линейное пространство над полем R действительных чисел. Будем говорить, что на нем задано скалярное произведение, если на V определена симметрическая билинейная форма, обозначаемая (x,y), для которой соответствующая квадратичная форма (х,х) положительно определена.

Примеры. 1. Рассмотрим пространство R₃ векторов-отрезков. Если в некотором базисе заданы векторы х (х₁, х₂, х₃) и у (у₁, у₂, у₃), то полагаем (х, у) = х₁ у₁ + х₂у₂ + х₃у_3.

Легко проверить, что эта форма (у, х) = (х, у) – билинейная, а (х,х) = х₁² + х₂² + х₃² – положительно определенная квадратичная форма.

Значит, (х,у) – скалярное произведение в R₃ .

2. Пусть F – пространство непрерывных на [a, b] функций действительной переменной. Полагаем, что для любых функций φ(х) и ψ(х) Î F скалярное произведение задается так: (φ(х), ψ(х)) = φ(х)ψ(х)dx.

Очевидно, это – симметрическая билинейная форма и, так как φ²(х)dx>0 при φ(х) ≠ 0, то (φ(х), φ(х))>0, то есть (φ(х), φ(х)) – положительно определенная квадратичная форма.

Учитывая определения симметричной билинейной и квадратичной форм, данное выше определение 1 скалярного произведения можно переформулировать следующим образом.

Определение 2.Пусть V – действительное линейное пространство. Будем говорить, что в V определено скалярное произведение, если по некоторому закону любой упорядоченной паре векторов a, b Î V ставится в соответствие единственное действительное число (a,b) и выполняются следующие аксиомы скалярного произведения(для любых a, b, сÎ V и любого aÌR):

1) коммутативность (a,b) = (b,а);

2) (a+b, c)=(a,c)+(b,c);

3) (aa,b)= a (a,b);

4) (a,a)>0 при любом а 0.

Определение 3.Действительное линейное пространство, на котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Замечание 1.Отметим, что скалярное произведение не является алгебраической операцией в V, так как a, b Î V, но (a,b), вообще говоря, не принадлежит V (ибо поле не обязано содержаться в ).

Теорема(о превращении конечномерного линейного пространства в евклидово пространство).Во всяком конечномерном линейном пространстве V_n над R можно задать скалярное произведение, т.е. превратить его в евклидово пространство.

Доказательство. Выберем в V_n некоторый базис е₁, …, е_n. Пусть a, b Î V_n. Тогда а = a₁е₁+…+a_nе_n, b = b₁е₁+…+b_nе_n.

По определению полагаем: (1). Нетрудно проверить, что выполняются все аксиомы скалярного произведения. В частности, при любом а¹0. Значит, V_n стало евклидовым пространством.

Теорема доказана.

Замечание 2.В связи с этой теоремой возникает ряд вопросов:

1.Если в V_n задавать скалярное произведение, как в теореме 1, но использовать различные базисы, то получим различные евклидовы пространства или у них есть что-то общее? Ответ на этот вопрос мы получим после введения понятия изоморфизма евклидовых пространств.

2. Можно ли в конечномерном линейном пространстве задать скалярное произведение принципиально другим способом? В дальнейшем будет доказано, что любой способ сводится к данному.