Главная | Обратная связь

Колебательный процесс разрядки.

Для случая r/(4L²) = 1/(LC) корни р₁ и р₂ комплексные и сопряженные и разрядка имеет колебательный характер. В этом случае корни характе­ристического уравнения

р_1,2 = - δ ± j ω_o ( 117 )

где δ = r\2L - коэффициент затухания; ω_o = √1 |(LC – δ²) — соб­ственная угловая частота колебательного процесса.

Подставив комплексные значения корней в (108), получим зави­симости искомых величин напряжения на ем­костном элементе и разрядного тока от времени при колебательном режиме переходного процесса

и_с = e^{- δ t} ( А₁ e ^{j ωo t} + A₂ e- ^{j ωo t} ) ; (118)

i = -С (du_c/dt) = -С e^{- δ t} [ А₁ e ^{j ωo t} + A₂ e- ^{j ωo t} ) + j ω_o ( А₁ e ^{j ωo t} -A₂ e- ^{j ωo t} )] (119 )

Для определения постоянных интегрирования A₁ и A₂ обратимся, как и в других задачах, к законам коммутации для индуктивного и емкостного элементов. До коммутации и, в частности в момент времени

t = 0_- , непосредственно предшествовав­ший коммутации, напряжение на емкостном элементе равнялось ЭДС Е источника, а тока в индуктивном элементе не было. Поэтому

и_с(0_- ) = Е = и_с(0₊) = А₁ + А₂ ( 120 )

i (0_-) = 0 = i(0.) = -С[ δ(А₁ + А₂)- j ω_o(А₁ - А₂) ( 121 )

откуда

А₁ = Е( δ + j ω_o)/2j ω_o ; А₂ = Е( δ - j ω_o)/ 2 j ω_o ( 122 )

Подставим эти значения в (118) и учтем, что по формуле Эйлера

е ^{± j ωo} = cos ω_ot ± j sin ω_ot

В результате получим зависимость изменения напряжения на емкост­ном элементе от времени в виде

и_с = ( Е/ ω_o) e ^{-δ t} (ω_ocos ω_ot + δ sin ω_ot) ( 123 )

Рис. 26

Сумму косинусоидальной и синусоидальной функций можно замет нить одной синусоидальной функцией. Для этого положим, что отно­шение ω_o/δ= tgψ, т. е. будем считать, что ω_o и δ — катеты прямо­угольного треугольника (рис. 26,а), гипотенуза которого

√ ω_o² + δ² = √1/(LC) - δ² + δ² =√1/(LC ( 124 )

Разделив и умножив (123) на 1/(LC получим

u_c = e ^{-δ t} sin ( ω_ot +ψ) ( 125 )

и по (87) разрядный ток будет

i = -С (du_c/dt) = ( Е/ ω_o L) e ^{-δ t} sin ω_ot ( 126 )

Зависимости (125) и (126) показывают, что напряжение емкост­ного элемента и разрядный ток цепи можно рассматривать как синусоидаль­но изменяющиеся во времени величины, но с амплитудами, уменьшаю­щимися по экспоненциальному закону при постоянной времени τ = = 1/δ = 2L/r .

Для построения соответствующих зависимостей можно сначала построить вспомогательные экспоненты ± e ^{-δ t} для напряжения (рис. 26) и

±( Е/ ω_o L) e ^{-δ t} - для тока. Кривые изменения напряжения и тока (рис.26) должны вписаться в пределы, ограниченные указанными вспомогательными экспонентами. Для нахождения характерных точек кривой изменения напряжения на емкостном элементе, таких как u_с(0) = Е и u_с(t) = 0, на рисунке точками показана вспомогательная кривая - синусоида.