Главная | Обратная связь

Короткое замыкание катушки индуктивности с током.

Рассмот­рим переходный процесс в цепи катушки индуктивности с током, обладающей кроме индуктивности L также сопротивлением r, при

за­мыкании ее накоротко ключом К. Подобные условия имеют место в обмотках электрических машин и аппаратов. Для этого представим катушку индуктивности схемой замещения в виде последовательного соединения индуктивного и резистивного элементов (рис.20, а).

Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:

 

Рис.20

u_L + u_r = L(di/dt) + ri = 0 (60)

Так как дифференциальное уравнение (60) однородное [совпа­дает с уравнением (54)], то его общее решение содержит только свободную составляющую (40);

i = i_св = Aе^-t/τ ( 61 )

где τ= L/r — постояная времени цепи.

Осталось найти значение постоянной А. Для этого опять обратимся к. закону коммутации для индуктивного элемента (13). Так как до замыкания ключа и, следовательно, в момент времени i = 0_ в катуш­ке был постоянный ток, равный i (0_-) = E/(r + R), то

i (0_-) = i (0₊) = E/(r + R) = А. ( 62 )

Подставив значение постоянной А в (61), получим ток в катушке индуктивности:

i (0₊) = E/(r + R) е^-t/τ ( 63 )

Ток в катушке индуктивности после коммутации (рис.20,б) под­держивается за счет энергии, накопленной в ее магнитном поле.

Теперь можно определить и зависимости от времени напряжений. на реэистивном и индуктивном элементах (рис. 5,2, б):

u_r = ri = [r E/(r + R) ] е^-t/τ ( 64 )

u_L = L(di/dt) = -[r E/(r + R) ] е^-t/τ ( 65 )

4.2.3. Размыкание цепи с катушкой индуктивности.

При размыкании неразветвленной электрической цепи с катушкой индуктивности между размыкающимися контактами возникает дуговой разряд. Такой разряд наблюдается, например, в скользящих контактах электриче­ского транспорта. Чтобы дугового разряда не было, необходимо па­раллельно участку цепи между контактами включить резистор. На рис.21, а приведена схема замещения электрической цепи, в которой катушка индуктивности представлена последовательным соединением индуктивного L и резистивного r элементов, а выключатель представ­лен в виде параллельного соединения идеального ключа и резистивного элемента R.

а) б)

Рис.21

Составим дифференциальное уравнение переходного процесса цепи после размыкания ключа:

u_L + u_r + u_R = L(di/dt) + (r + R)i =Е ( 66 )

Это дифференциальное уравнение полностью совпадает (с точностью
до обозначений элементов) с уравнением (5.4). Следовательно, его
общее решение аналогично (5.9) : t

i = i_уст +i_св = [Е(/r+R)] + A e ^{–[(r +R)/L] t}( 67 )

 

где i_уст = [Е(/r+R)]- установившаяся составляющая тока, равная постоянному току в цепи после размыкания ключа.

Для определения постоянной А в (67) обратимся к закону комму­тации для индуктивного элемента (13). До размыкания ключа, т. е. и при t =(0_-) , в катушке был постоянный ток i = Е/r . Поэтому по закону коммутации

i(0_-) = Е/r = i (0₊) =E/(r + R) + A, ( 68 )

откуда

A =E/r – E/(r + R) = RE / [r(r + R)]. ( 69 )

Подставив значение постоянной А в (67), найдем ток в цепи катушки индуктивности после размыкания ключа (рис. 21, б):

i (0₊) =E/(r + R)·[1 +(R/r)e^-t/τ] ( 70 )

где τ= L/ (r + R) - постоянная времени цепи.

Зная ток в цепи, нетрудно определить зависимости от времени на­пряжений на резистивном и индуктивном элементах (графики нарис.21 , б):

u_r = ri = rE/(r + R)·[1 +(R/r)e^-t/τ]

u_R = Ri = RE/(r + R)·[1 +(R/r)e^-t/τ]( 71 )

u_L = L(di/dt) = -(R/r)· E e ^-t/τ

В первый момент времени после размыкания ключа t = 0 напря­жение на резистивном элементе R скачком возрастает от нуля u_R (0_-) = 0 до u_R (0₊) = ER/r . Поэтому при R >> r между контактами ключа появляется значительное напряжение, которое и может вызвать дуго­вой разряд.