Главная | Обратная связь

Переходные процессы в цепи постоянного тока

4.2.Переходные процессы в цепи с одним накопителем энергии

В этом разделе необходимо рассмотрим общее понимание сути переходных процессов и роли параметров электрической цепи. Здесь, и далее, в качестве источника энергии рекомендуется использовать источник постоянной ЭДС. Как известно, источник энергии определяет лишь установившиеся (принужденные) значения токов и напряжений, а наиболее сложная часть расчета связана с определением свободных составляющих, которые не зависят от рода источника питания, а определяются многими другими параметрами, в том числе, пассивными элементами цепи R, L, С. Результаты расчета свободных составляющих во многом определяют их практическую значимость.

Название метода "классический" отражает использование в нем ре­шений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами ме­тодами классической математики.

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы.

1. Прежде всего необходимо составить систему уравнений на основе
законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т. д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднород­ное относительно искомого тока i_L или напряжения u_c . Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

2. Далее следует составить общее решение полученного неоднород­ного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного ре­шения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. по­стоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники посто­янных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при дей­ствии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают i_уст (i_пр) ; U_уст(U_пр) и называют установив­шимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описы­вает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают i_св ими называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

 

4.2.1. Подключение источника постоянной ЭД€ к неразветвленной цепи с резистивным и индуктивным элементами.

Проанализируем переход­ный процесс в цепи при замыкании ключа К в момент времени t = 0 (рис.18,б), выполнив последовательно все этапы расчета классиче­ским методом . В дальнейшем для сокращения решений математические операции отдельных этапов будем совмещать.

1. При выбранных положительных направлениях тока i и напряже­ний и_R и и_L составим систему уравнений, описывающих состояние це­пи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и pакона электро­магнитной индукции:

и_R + и_L = Е; и_L = L(di/dt); и_R = ri ( 42 )

В практике расчетов переходных процессов в электрических цепях используют известный метод решения линейных диффе­ренциальных

Рис.18. Схема замещения (а) и кривые изменения отдельных параметров от времени в момент переходного процесса.

 

б)

 

уравнений с правой частью. Результат решения дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего одно­родного уравнения (когда правая часть исходного уравнения равна нулю). Для использования этого метода, действительный (переходный) ток в ветви в соответствии с уравнением (4.9) представляют как сумму двух составляющих i = i_уст +i_св

Исключая из системы уравнений (42) переменные u_R и u_L, получаем неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса первого порядка

Ldi/dt + ri = Е ( 43 )

Представим ток в виде i = i_уст +i_св

где i_уст - установившийся ток, т. е. ток, который устанавливает­ся в цепи после окончания переходного процесса; i_св — сво­бодный ток — ток, действующий только в течение времени переходного процесса.

Выразив в дифференциальном уравнении (43) ток через две составляющие, получим

L[d( i_уст +i_св)/dt] + r( i_уст +i_св) = Е. ( 44 )

Так как в установившемся режиме i_св = 0, то уравнение (44) приобретает вид

L(di_уст /dt) + r i_уст = Е ( 45 )

Ток в установившемся режиме есть величина постоянная, и его производная

(di_уст /dt) = 0 ( 46 )

Тогда из (45) следует, что

i_уст = U/r = I ( 47 )

Вычитая (45) из (44), получимМшфференциальное уравне­ние для свободного тока

L(di_св /dt) + r i_св = 0. ( 48 )

Общее решение однородного дифференциального уравнения (48) называется свободным током

i_св = A e^рt ( 49 )

Таким образом, с учетом (47) и (49) общее решение неоднород­ного дифференциального уравнения (45) имеет вид

i = i_уст +i_св + r( i_уст +i_св) = Е/r + A e ^{–(r/ L)t}( 50 )

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации.

Для определения величины корня р составляем характеристичесое уравнение

6. Характеристическое уравнение.

Теоретически возможны два варианта составления этого уравнения.

Во-первых, приравняв правую, часть уравнения (44) к нулю, получим уравнение(53)

L(di_св /dt) + r i_св = 0 ( 51 )

Тогда, обозначив i=1 и(di_св /dt) = р характеристическое уравнение примет вид

r+ Lp = 0 ( 52 )

Из чего следует р = (-r/L)

Во-вторых, учитывая единственный источник в цепи, можно записать комплекс входного сопротивления:

Z_вх =r + jωL = 0 ( 53 )

Обозначив jω = р, получим:

Z_вх =r + рL = 0 ( 54 )

Определяем

Р = (-r/L)

Из приведенного расчета следует, что в обоих вариантах получен одинаковый единственный корень характеристического уравнения.

3. Определим постоянную интегрирования А в общем решении (53). Для этого обратимся к закону коммутации для индуктивного эле­мента i(0_-)=i(0₊) в момент времени замыкания ключа t = 0. Так как ток в индуктивном элементе не может измениться скачком, а до коммута­ции, т. е. в момент г =0_ , он был равен нулю, то

i(0_-)= 0 = i(0₊) = E/r+ А

откуда

А = - Е/r. (5.10)

Подставив это значение постоянной А в (5.9), получим закон нара­стания тока в цепи (рис. 5.1,6):.

i(0₊) =- Е/r(1-е^-t/τ) (5.11)

где τ = L/r имеет размерность времени (Гн/Ом или с) и называется постоянной времени цепи. Постоянная времени определяет скорость нарастания тока и равна времени, за которое ток достиг бы установившегося значения i_уст = Е/r , если бы скорость его изменения оста­валась неизменной и равной начальному значению скорости (di/dt )_t=0 = E/L.

Переходный процесс часто можно считать практически закончившимся через интервал времени t_пер =3τ с момента коммутации, когда ток достигнет значения i (3τ) =0,95 Е/r.

Так как зависимость тока от времени найдена (47), то нетрудно определить и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 18,6):

u_r = ri = Е{1 - е^-t/τ); u_L = L(di/dt) = Е е^-t/τ ( 58 )

При 0 < t < τ скорость изменения тока в цепи можно считать при-

ближенно постоянной и равной (di/dt) _t=0 = Е/L . Следовательно, в этом

интервале времени приближенно напряжение на резистивном элементе равно

u_r = (r/L) Et =(r/L) Edt ( 59 )
т. е. пропорционально интегралу напряжения источника ЭДС Е. Такую

цепь принято называть интегрирующей цепью.

При действии на входе цепи источника изменяющейся ЭДС может оказаться, что в некоторые интервалы времени переходного процесса u_r >> u_L. Для этих интервалов времени ток в цепи i ≈e/r ; а напряжение на индуктивном элементе u_L = L(di/dt) ≈ (L/r)(de/dt) ,т.е. пропорционально скорости изменения напряжения источника ЭДС е. Имея это в виду, эту же цепь называют дифференцирующей цепью.

Практически же

при t = 3T i = 0,95 i_уст;

при t = 4Т ; i = 0,98 i_уст;

при г = 5Т i = 0,993 i_уст

Обычно считают, что длительность переходного процесса составляет

t_пер =( 3 -4)τ.

Проверка решений.

Полученные уравнения (3.1)...(3.3) подлежат проверке при t = (0₊=0) и при

t = ∞ путем сравнения результатов с промежуточными вычислениями. Так, при t = (0₊) после подстановки имеем

i(0₊)=0; u_R(0₊) = 0; u_L(0₊) = E.

Эти же результаты получены соответственно и ранее.

При t = ∞ после подстановки этого времени в расчетные уравнения

имеем: i_уст = (E/R); U_Rycm = E; U_Lycm = 0

что полностью совпадает с результатами промежуточных вычислений .

9. Графическое представление решений.

Если учесть, что величина постоянной времени τ = (1/р) = (L/R), то уравнения (3.1)...(3.2) удобнее представить в виде

i(t) = Е/r(1-е^-t/τ)

u_R(t) = Е (1-е^-t/τ)

u_L(t) = Е е^-t/τ

Задаваясь, например, значениями t в долях, кратных τ , можно составить таблицу 3.

Расчетные значения Таблица 3

 

Параметр	t
0-	0+	τ	2 τ	3 τ		5 τ
i(t)			0,633Е/R	0,865Е/R	0,95Е/R	0,982Е/R	0,994Е/R
UR(t)			0,633Е	0,865Е	0,95Е	0,982Е	0,994Е
UL(t)		Е	0,367 Е	0,135Е	0,05 Е	0,018 Е	0,006Е

 

Графическое представление некоторых результатов расчета показано на рис.3.3. Полученные графики дают возможность сделать один важный вывод: реальная длительность переходного процесса может быть ограничена временем t ~ (3...5) τ в зависимости от заданной точности расчета, так

 

Рис. 19 График изменения тока и напряжения.

как по истечении этого времени отличие от установившихся (принудительных) значений не превышает (1 ...5) %.

Если придать значению т некоторые конкретные значения, то можно выяснить, что в реальных устройствах длительность переходного процесса составляет микросекунды, миллисекунды и лишь в некоторых случаях доли секунд. Например, если L = 1 Гн, R = 10 Ом, то τ = 0,1 С. Если увеличить значение индуктивности или уменьшить значение активного сопротивления, то произойдет увеличение постоянной времени и, следовательно, процесс нарастания тока в ветви с индуктивностью замедлится.