Здавалка
Главная | Обратная связь

ПОДКЛЮЧЕНИЕ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ С ИНДУКТИВНЫМ, РЕЗИСТИВНЫМ И ЕМКОСТНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ К ИСТОЧНИКУ ЭДС



В отличие от процесса разрядки емкостного элемента в цепи на рис.23, описываемого однородным дифференциальным уравнением (81), процесс зарядки в аналогичной цепи от источника постоянной ЭДС Е (рис.24) описываается неоднородным дифференциальным уравнением

LC + rC + uc = Е ( 127 )

Решгние этого уравнения представляет собой наложение установив­шегося и свободного процессов

uc - uc уст + uc св ( 128 )

где составляющая свободного процесса совпадает с (108), а состав­ляющая установившегося процесса uc уст = Е (зарядка до напряжения, равного ЭДС),

т. е. общее решение для напряжения на емкостном эле­менте имеет вид

uс = Е + А1 е р1 t + A2 е р2 t ( 129 )

и зарядный ток

i = С(duc/dt) = Cp1 А1 е р1 t + C p2 A2 е р2 t ( 130 )

Рис.27

 

До замыкания ключа напряжения на емкостном элементе и тока в цепи не было. Поэтому в соответствии с законами коммутации полу­чим для момента замыкания ключа (г = 0) два уравнения для опреде­ления двух постоянных А1 и А2:

ис(0- ) = 0 = ис(0+) = Е + А1 + А2 ( 131 )

i (0-) = 0 = i(0+ ) = ((р1А1 + р2А2) ( 132 )

откуда определяются постоянные:

А1 = р2Е / (р2 – р1) ( 133 )

А2 = р1Е / (р1 – р2) ( 134 )

Ограничимся здесь анализом колебательного процесса зарядки. Выполнив преобразования, аналогичные переходу от (123) к (125), получим зависимости изменения во время напряжения на емкостном элементе и зарядного тока (рис.27):

uc - uc уст + uc св = [Е/ωо√LC] e t sin ( ωot +ψ) ( 135 )

i= C = e -δ t sin ωot ( 136 )

Напряжение на емкостном элементе достигает наибольшего значения в момент времени t =π/ωо. Оно тем больше, чем постоянная времени τ = 1/δ больше периода собственных колебаний То= π/ωо; и в пределе может превышать почти в 2 раза установившееся напряжение. Такое перенапряжение может быть опасно для изоляции высоковольтных установок. Чтобы исключить перенапряжение, нужно осуществить апе­риодический режим зарядки, например, включить последовательно в цепь добавочный резистор.

 

4.6. ПОДКЛЮЧЕНИЕ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ С ИНДУКТИВНЫМ И РЕЗИСТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ К ИСТОЧНИКУ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ЭДС

Рис.28

Уравнение для цепи рис. 28а, составленное по второму за­кону Кирхгофа, представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса, возникающего после замыкания ключа, подобно уравнению (43), т. е. имеет вид

uL + ur = L(di/dt) + ri = е(t) = Um sin (ωt + ψ) ( 137 )

Его общее решение равно сумме свободной и установившейся составляющих тока:

i = iуст +iсв ( 138 )

Принужденный ток в цепи после окончания переходного процесса определяют по закону Ома. В неразветвленной цепи (рис. 28, а) с источником синусоидальной ЭДС е =и = U sin (ωt + ψ) при установившемся режиме сину­соидальный ток

iуст = Imsin(ωt + ψ - φ) или iуст = (Um/z) sin(ωt + ψ - φ) ( 139 )

где Im = Um/ - амплитуда тока; φ = arctg(ωL/r) -аргумент комплексного сопротивления цепи; ψ - начальная фаза;

z = - комплексное сопротивление

Решение дифференциального уравнения для свободного тока

uL + ur = L(diсв /dt) + riсв =0 ( 140 )

имеет вид

iсв = A е рt ( 141 )

Показатель степени р определяют из характеристического уравнения Lp +r = 0

р = - L/r = - 1/τ ( 142 )

где τ= L/r — постоянная времени цепи.

Ток в цепи в переходный период

i = iуст + A е - τ/t = Imsin(ωt + ψ - φ) + A е –(r/L)t ( 143 )

Значение А определяют из (143) с помощью первого закона коммутации: при t = (0+ ); i(0+ ) = i(0-) = 0

На основании закона коммутации для индуктивного элемента в момент времени t = 0 справедливо соотношение

i(0-) = 0 = i(0+ )= Imsin(ωt + ψ - φ) + А = (Um/z) sin(ωt + ψ - φ) + А ( 144 )

откуда определяется постояная интегрирования:

А = -Imsin( ψ - φ) = - (Um/z) sin( ψ - φ) ( 145 )

Подставив значение постоянной А в общее решение, найдем зависи­мость тока от времени:

i = iуст +iсв = Imsin(ωt + ψ - φ) - Imsin( ψ - φ) е - τ/t ( 146 )

или i =(Um/z) sin(ωt + ψ - φ) -(Um/z) sin( ψ - φ) е - τ/t

Из анализа (146) вытекает, что характер переходного про­цесса зависит от ψ и ф. На рис.28,б изображены графики мгновенных значений напряжения; установившегося, свободно­го и полного токов при включении цепи рис.28, а. Следует от­метить, что если в момент включения при t = 0+ (ψ – φ ) = 0, или ψ = φ, то принужденный ток равен нулю, поэтому свободный ток не возникает и в цепи после включения сразу наступает установившийся режим.

Таким образом, во время переходного процесса ток в цепи состоит из синусоидальной составляющей и свободной составляющей, убываю­щей экспоненциально (рис.28, б). Практически через интервал вре­мени 3τ после замыкания ключа свободной составляющей можно пре­небречь.

Аналогично рассчитывается переходный процесс при подключении источника синусоидальной ЭДС к цепи с последовательно соединенными резистивным и емкостным элементами и в других случаях. И здесь пере­ходный процесс зависит от начальной фазы напряжения источника- он отсутствует при ψ = φ+π/2, где φ = arctg[-l/(ωСr] < 0, и выражен наиболее сильно при

ψ = φ когда максимальное напряжение на емкост­ном элементе может почти в 2 раза превысить амплитуду установив­шегося напряжения. Такое перенапряжение может привести к пробою изоляции в высоковольтных установках.

ГЛАВА 5.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.