ПОДКЛЮЧЕНИЕ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ С ИНДУКТИВНЫМ, РЕЗИСТИВНЫМ И ЕМКОСТНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ К ИСТОЧНИКУ ЭДС
В отличие от процесса разрядки емкостного элемента в цепи на рис.23, описываемого однородным дифференциальным уравнением (81), процесс зарядки в аналогичной цепи от источника постоянной ЭДС Е (рис.24) описываается неоднородным дифференциальным уравнением LC + rC + uc = Е ( 127 ) Решгние этого уравнения представляет собой наложение установившегося и свободного процессов uc - uc уст + uc св ( 128 ) где составляющая свободного процесса совпадает с (108), а составляющая установившегося процесса uc уст = Е (зарядка до напряжения, равного ЭДС), т. е. общее решение для напряжения на емкостном элементе имеет вид uс = Е + А1 е р1 t + A2 е р2 t ( 129 ) и зарядный ток i = С(duc/dt) = Cp1 А1 е р1 t + C p2 A2 е р2 t ( 130 ) Рис.27
До замыкания ключа напряжения на емкостном элементе и тока в цепи не было. Поэтому в соответствии с законами коммутации получим для момента замыкания ключа (г = 0) два уравнения для определения двух постоянных А1 и А2: ис(0- ) = 0 = ис(0+) = Е + А1 + А2 ( 131 ) i (0-) = 0 = i(0+ ) = ((р1А1 + р2А2) ( 132 ) откуда определяются постоянные: А1 = р2Е / (р2 – р1) ( 133 ) А2 = р1Е / (р1 – р2) ( 134 ) Ограничимся здесь анализом колебательного процесса зарядки. Выполнив преобразования, аналогичные переходу от (123) к (125), получим зависимости изменения во время напряжения на емкостном элементе и зарядного тока (рис.27): uc - uc уст + uc св = [Е/ωо√LC] e -δ t sin ( ωot +ψ) ( 135 ) i= C = e -δ t sin ωot ( 136 ) Напряжение на емкостном элементе достигает наибольшего значения в момент времени t =π/ωо. Оно тем больше, чем постоянная времени τ = 1/δ больше периода собственных колебаний То= π/ωо; и в пределе может превышать почти в 2 раза установившееся напряжение. Такое перенапряжение может быть опасно для изоляции высоковольтных установок. Чтобы исключить перенапряжение, нужно осуществить апериодический режим зарядки, например, включить последовательно в цепь добавочный резистор.
4.6. ПОДКЛЮЧЕНИЕ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ С ИНДУКТИВНЫМ И РЕЗИСТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ К ИСТОЧНИКУ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ЭДС Рис.28 Уравнение для цепи рис. 28а, составленное по второму закону Кирхгофа, представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса, возникающего после замыкания ключа, подобно уравнению (43), т. е. имеет вид uL + ur = L(di/dt) + ri = е(t) = Um sin (ωt + ψ) ( 137 ) Его общее решение равно сумме свободной и установившейся составляющих тока: i = iуст +iсв ( 138 ) Принужденный ток в цепи после окончания переходного процесса определяют по закону Ома. В неразветвленной цепи (рис. 28, а) с источником синусоидальной ЭДС е =и = U sin (ωt + ψ) при установившемся режиме синусоидальный ток iуст = Imsin(ωt + ψ - φ) или iуст = (Um/z) sin(ωt + ψ - φ) ( 139 ) где Im = Um/ - амплитуда тока; φ = arctg(ωL/r) -аргумент комплексного сопротивления цепи; ψ - начальная фаза; z = - комплексное сопротивление Решение дифференциального уравнения для свободного тока uL + ur = L(diсв /dt) + riсв =0 ( 140 ) имеет вид iсв = A е рt ( 141 ) Показатель степени р определяют из характеристического уравнения Lp +r = 0 р = - L/r = - 1/τ ( 142 ) где τ= L/r — постоянная времени цепи. Ток в цепи в переходный период i = iуст + A е - τ/t = Imsin(ωt + ψ - φ) + A е –(r/L)t ( 143 ) Значение А определяют из (143) с помощью первого закона коммутации: при t = (0+ ); i(0+ ) = i(0-) = 0 На основании закона коммутации для индуктивного элемента в момент времени t = 0 справедливо соотношение i(0-) = 0 = i(0+ )= Imsin(ωt + ψ - φ) + А = (Um/z) sin(ωt + ψ - φ) + А ( 144 ) откуда определяется постояная интегрирования: А = -Imsin( ψ - φ) = - (Um/z) sin( ψ - φ) ( 145 ) Подставив значение постоянной А в общее решение, найдем зависимость тока от времени: i = iуст +iсв = Imsin(ωt + ψ - φ) - Imsin( ψ - φ) е - τ/t ( 146 ) или i =(Um/z) sin(ωt + ψ - φ) -(Um/z) sin( ψ - φ) е - τ/t Из анализа (146) вытекает, что характер переходного процесса зависит от ψ и ф. На рис.28,б изображены графики мгновенных значений напряжения; установившегося, свободного и полного токов при включении цепи рис.28, а. Следует отметить, что если в момент включения при t = 0+ (ψ – φ ) = 0, или ψ = φ, то принужденный ток равен нулю, поэтому свободный ток не возникает и в цепи после включения сразу наступает установившийся режим. Таким образом, во время переходного процесса ток в цепи состоит из синусоидальной составляющей и свободной составляющей, убывающей экспоненциально (рис.28, б). Практически через интервал времени 3τ после замыкания ключа свободной составляющей можно пренебречь. Аналогично рассчитывается переходный процесс при подключении источника синусоидальной ЭДС к цепи с последовательно соединенными резистивным и емкостным элементами и в других случаях. И здесь переходный процесс зависит от начальной фазы напряжения источника- он отсутствует при ψ = φ+π/2, где φ = arctg[-l/(ωСr] < 0, и выражен наиболее сильно при ψ = φ когда максимальное напряжение на емкостном элементе может почти в 2 раза превысить амплитуду установившегося напряжения. Такое перенапряжение может привести к пробою изоляции в высоковольтных установках. ГЛАВА 5. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|