Главная | Обратная связь

Таким образом, общее решение будет иметь вид

u_с = u_{с уст} + u_{с св} = Е + Ае^-t/rC ( 76 )

Для определения значения постоянной А в (76) обратимся к за­кону коммутации для емкостного элемента (15). Будем считать, что до замыкания ключа, т. е. в момент времени t = (0_-), емкостный эле­мент не был заряжен. Поэтому

u_с(0_-) = 0 = u_с(0₊) = Е + А ( 77 )

откуда А = -Е.

Подставив значение постоянной А в (76), найдем напряжение на емкостном элементе во время зарядки (рис.22 , б):

u_с = Е (1 - е^-t/rC ) ( 78 )

где τ = rС имеет размерность времени (Ом • Ф = Ом • А • с/В =с) и на­зывается постоянной времени цепи. Она (А), как и постоянная времени цепи τ на рис.22,б, определяет скорость переходного процесса.

Зависимость от времени напряжения на емкостном элементе определяет зависимости от времени зарядного тока и напряже­ния на резистивном элементе (рис. 22,б):

i_c = C(du_c/dt ) = Е е^-t/rC ; u_r = ri = Е е^-t/rC ( 79 )

Заметим, что в первый момент после замыкания ключа, т. е. при t = (0₊), ток в цепи i(0₊) =Е/r. Емкостный элемент в этот момент времени как бы коротко замкнут (напряжение на нем равно нулю). Поэтому при малом значении сопротивления r в цепи может наблю­даться значительный скачок тока.

При 0 < t< τ скорость изменения напряжения на емкостном элементе можно приближенно считать постоянной: (du_c/dt )_t=0 = E/rC, а напряжение u_с≈(Е/rC)= (1/rC)∫ Еdt - пропорциональным интегралу напряжения источника ЭДС ( Е). Кривые найденных величин приведены на рис. 22,б.

Если на входе цепи действует источник изменяющейся ЭДС е(t), то может оказаться, что для моментов времени переходного процесса, в которые

u_r < <u_с , приближенно u_с≈ е(t), a u_r = ri = rC( du_c/dt) ≈ rC( du_е/dt); пропорционально скорости изменения напряжения источ­ника. Следовательно, цепь с последовательным соединением резистивного и емкостного элементов, так же как и цепь с последовательным соединением резистивного и индуктивного элементов, рассмотренную выше, при определенных условиях можно рассматривать и как ин­тегрирующую, и как дифференцирующую.

В большинстве случаев процесс зарядки можно считать практически закончившимся через интервал времени, равный Зτ. Этот интервал вре­мени может быть достаточно большим (чем больше r и С, тем боль­ше и τ), что широко используется, например, в реле времени — устрой­ствах, срабатывающих по истечении определенного времени.

4.2.4.2. Разрядка .емкостного элемента через резистивный элемент.

В элект­рическом поле заряженного емкостного элемента сосредоточена энер­гия , за счет которой емкостный элемент в течение неко­торого времени сам может служить источником энергии. После под­ключения емкостного элемента, предварительно заряженного до напряжения u_с = Е, к резистивному элементу с сопротивлением r (рис. 23, а) ток в цепи будет обусловлен изменением заряда q емкост­ного элемента :

 

 

 

Рис.23

i = - (dq/dt) = - C(du_c/dt) ( 80 )

где знак минус указывает, что ток i - это ток разрядки в контуре це­пи, обозначенном на рисунке штри­ховой линией, направленный навстре­чу напряжению на емкостном элементе.

Составим дифференциальное уравнение переходного процесса в контуре цепи, обозначенном на рис. 23, а штриховой линией, на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения (80):

u_r - u_с = ri - u_с = r C(du_c/dt ) - u_с = 0 ( 81 )

Так как в цепи разрядки емкостного элемента нет источника ЭДС, то дифференциальное уравнение (81) однородное и его общее ре­шение состоит только из свободной составляющей (82):

u_с = u_{с св} = А· е ^-t/rC ( 82 )

Для определения постоянной А в (82) обратимся к закону комму­тации для емкостного элемента (15). Так как до коммутации, т. е. в момент времени t = 0_ , емкостный элемент был заряжен до на­пряжения' источника, то

u_с(0_- ) = Е = u_с (0₊) = А ( 83 )

Подставив значение постоянной А в (82), получим закон изме­нения напряжения при разрядке емкостного элемента (рис. 23, б):

u_с = u_{с св} = Е· е ^{- t /τ}( 84 )

где τ = rС - постоянная времени цепи.

Разрядный ток найдем по (80):

i _с = -C(du_c/dt ) = (Е/r) · е ^{- t /τ}

Ток разрядки скачком изменяется от нуля до значения i(0₊) =Е/r, а затем убывает по экспоненциальному закону (рис. 23,б).