 |
|
При двух действительных неравных корнях
ic cв= А1е р1 t + A2e p2 t ( 92 )
при трех действительных неравных корнях
ic cв= А1е р1 t + A2e p2 t + A3e p3 t ( 93 )
Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти: 1) числовое значение искомого свободного тока при i = (0+) , обозначим его icв = (0+); 2) числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых при t = (0+). Числовое значение первой производной от свободного тока при t = (0+) обозначим
i׳ cв = (0+); второй— i׳׳ cв = (0+); и т. д.
Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования
А1, А2, ..., полагая известными icв , i׳cв , i׳׳ cв и значения корней р1 и р2….
Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение первой степени, то ic cв= А е рt Постоянную интегрирования А определяют по значению свободного тока icв = (0+);
А = icв (0+) ( 93 )
Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то
ic cв= А1е р1 t + A2e p2 t ( 94 )
Продифференцируем это уравнение по времени:
i׳c cв= А1 р1 е р1 t + A2 р2 е р2 t ( 95 )
Запишем уравнения (94) и (95) при t=0 (учтем, что е р1t = е р2t = 1 при (t= 0).
В результате получим:
icв (0+) = А1 + А2 ( 96 )
i׳ cв= А1 р1 + A2 р2 ( 97 )
В этой системе уравнений известными являются icв (0+); i׳cв ; p1 и р2; неизвестными — А1 и А2.
Совместное решение (96) и (97) дает
А1 =[ i׳ cв(0+) – р2 icв (0+)] / (р1 – р2); А2 = icв (0+) – А1 ( 98 )
Если корни характеристического уравнения являются комплексносопряженными, то в (94) сопряжены не только р1, и р2 (р1,2 =-δ ± j ωо), но также А1 и А2. Поэтому свободный ток
icв = А е-δt sin (ωоt + φоi) ( 99 )
Угловая частота ωо и коэффициент затухания δ известны из решения характеристического уравнения.
Определение двух неизвестных А и φоi производят, и в этом случае, по значениям icв (0+) ; i׳ cв.
Продифференцировав по времени уравнение (99), получим
i'св = - А δ е-δt sin (ωоt + φоi) + Аωо е-δt cos (ωоt + φоi) ( 100 )
Запишем уравнение (100) при t = 0+:
i׳ cв = - А δ sin ( φоi) + Аωо cos ( φo) ( 101 )
Таким образом, для нахождения неизвестных А и φo имеем два уравнения:
icв (0+) = А sin ( φоi) ( 102 )
i׳ cв=- А δ sin ( φоi) + Аωо cos ( φo) ( 103 )
Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток
i cв= А1 р1 е р1t + A2 р2 е р1t + A3 р3 е р3t ( 104 )
Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (104):
i׳ cв= А1 р1 е р1 t + A2 р2 е р2 t + A3 р3 е р3 t ( 105 )
i´´ cв= А1 р21 е р1 t + A2 р22 е р2 t + A3 р23 е р3 t ( 106 )
Запишем (104)-(106) при t = 0+:
i cв= А1 + A2 + A3
i׳ cв= А1 р1 + A2 р2 + A3 р3
i´´ cв= А1 р21 + A2 р22 + A3 р23 ( 107 )
Система уравнений (107) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: А1, А2 и А3. Все остальные входящие в нее величины (р1; р2; р3 ; . i cв; i´ cв; i´´ cв) известны.
Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облегчения расчета величины и ее производной (производных) при t = 0+ рекомендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на С и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину через найденную.
Рассмотрим,в общем виде, несколько примеров расчета коэффициентов переходных процессов классическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых начальных условиях.
На примере рис. 24 покажем возможные варианты получения трех видов процессов: апериодического; граничного; колебательного.