Здавалка
Главная | Обратная связь

Глава 7. Интеграл Дюамеля.



Познакомимся с третьим методом расчета переходных процессов в линейных электрических цепях — рас­четом с помощью интеграла Дюамеля.

При использовании интеграла Дю­амеля переменную, по которой производится интегрирование, обозна­чим τ а под t по-прежнему будем по­нимать тот момент времени, в который требуется найти ток в цепи. Пусть к цепи с нулевыми начальными услови­ями в момент времени t = 0 подключа­ется напряжение и(τ) (рис. 35).

Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени t, заменим плавную

кривую ступенчатой и просуммируем напряжения от начального напряжения и(0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени.

Напряжение и(0) в момент времени t вызовет в цепи ток и(0) g(0), где g(0)— переходная проводимость. В момент

Рис.35

времени τ + Δτ (см. рис.35) возникает скачок напряжения

Δ u ≈(du/dτ)Δτ = и′(τ) Δτ ( 218 )

Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени t, вызы­ваемую этим скачком, напряжения Δ u , необходимо и′(τ) Δτ умножить на значение переходной проводимости с учетом времени действия скачка до момента времени t. Из рис.35 видно, что это время равно t -.τ – Δτ. Следовательно, приращение напряжения от этого скачка составляет и′(τ)g(t -.τ – Δτ) Δτ.

Полный ток в момент времени t получим, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току и(0) g(0): i(t) = и(0) g(t) +∑ и′(τ)g(t - τ – Δτ) Δτ

Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени Δτ на бесконечно малый dτ и перейдем от суммы к интегралу:


i(t) = u(0) g(t) + ot и′(τ)g(t - τ – Δτ) Δτ ( 219 )

Формулу (219) называют интегралом Дюамеля.

С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и любую другую физическую величину, например напряжение. В этом cлучае в формулу вместо переходной проводимости g(t) будет входить переходная функция h(t), если на входе цепи действует источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление R(t), если на входе цепи дей­ствует источник тока.

7.1. Последовательность расчета с помощью интеграла Дюамеля. Расчет с помощью интеграла Дюамеля проводят в четыре этапа:

1)определение переходной проводимости g(t) (переходной функции h(t)) для исследуемой цепи;

2)нахождение g(t-τ) [h(t-τ)]. С этой целью в формуле для g(t) [h(t)] заменяют t на (t - τ);

3)определение u'(т). Для этого находят производную от заданного напряжения u(t) по времени t и в полученном выражении заменяют t на τ;

4)подстановка найденных на этапах 1-3 функций в формулу (8.75), интегрирование по переменной τ и подстановка пределов.

Пример 101. Найти i1, =f(t) и и2 =f(t) при замыкании ключа на схеме рис. 8 40. Напряжение источника ЭДС u(t) = 100(1-еt) В; α = 0,25с-1, R= 0,5Ом; L1 = 1 Гн; М = 0.5 Гн.

 

Рис.36. Расчетная схема замещения

Решение. Переходная проводимость цепи, состоящей из последовательно включенных R и L.

g(t) = (1/R)(1-е-bt)

где

b = R/L

g(t - τ) = (1/R)(1-е-b(tτ))

Первое слагаемое в формуле (219) выпадает, так как и(0) = 0. При этом

и'(t) = d[ 100(1- е-αt)] /dt =100 α е-αt

и'(τ) = 100 α е-ατ

i1 (t)= оt и'(τ) g(t - τ) dt = [100α/R] оt е-αt (1-е-b(tτ))dτ

При интегрировании учитываем, что е-bt от .х не зависит

i1 (t)= 200(1+ е-0,5t - 2е-0,25t ), А.

Напряжение на зажимах вторичной обмотки

u2(t) = M(di1 /dt) = 50( е-0,25t - е-0,5t ), В

7.2. Применение интеграла Дюамеля при сложной форме на­пряжения.

Пусть напряжение u(t) изменяется во времени по сложному закону, например в соответствии с рис.37. Начальное напряжение равно и(0). В интервале от t = 0 до t = t1 напряжение плавно растет и закон его изменения u1(t). В момент t = t1 оно ме­няется скачком от иа до ub, а затем снова изменяется, но уже по другому закону и2(t) во времени. При t = t2 напряжение скачком уменьшается от ис до нуля.

Требуется найти ток в каждом из трех ин­тервалов времени. Под первым интервалом будем понимать интервал времени от t = 0 до t = t1 (не включая скачка напряжения от иа до иb); под вторым — от t1 до t2, включая скачок от

иа до иb, но не включая скачок от ис до 0; под третьим — при t > t2, включая скачок от ис до 0.

Интегрирование по-прежнему проводим по τ, понимая под t фикси­рованный момент времени, в который требуется найти ток. На основании принципа нало

 

Рис.37

жения ток в любой момент времени t определится как сум­ма токов от всех напряжений, воздействовавших на цепь до момента t.

В первый интервал времени

i (t)= u(0) g(t) + ot и'(τ) g(t - τ) dτ ( 220 )

Во второй интервал времени

i (t)= u(0) g(t) + ot и'(τ) g(t - τ) dτ + (ua - ub) g(t – t1) + t1t2 и2'(τ) g(t - τ) dτ (221 )

где слагаемое (ua - ub)g(t – t1) обусловлено скачком напряжения от ua и ub в момент времени t1.

В третий интервал времени

i (t)= u(0) g(t) + ot и'(τ) g(t - τ) dτ + (ua - ub) g(t – t1) + t1t2 и2'(τ) g(t - τ) dτ +

+ (0-uc) g(t – t2) ( 221 )

Пример 102. В электрической цепи (см. рис. 8.40) в момент времени t = 0 замыкает­ся ключ и напряжение и(t) изменяется в соответствии с рис.37; u(0) = 50 В. В первый интервал времени от t = 0 до t = t1 = 4,с напряжение

u1(t) = 150 – 100е t1, где α = 0,25 с-1. Во второй интервал времени от ; t = t1 = 4,с до t = t2 =6,с и2(t) = 50 + 100e-c(t-t1) , где c = 0.4с-1. Параметры схемы (см. рис. 8.40) R = 0,5Ом; L1 = 1 Гн (вторичная цепь разомкнута).

Найти закон изменения тока i1 во времени для обоих интервалов времени, а также знаения тока i1 при t, равном 2 и 5 с

Решение. В соответствии с § 8.54 переходная проводимость

g(t) = (1/R) (1-е-bt ); b =(R/L) = 0,5c-1; g(t - τ) =(1/R) (1-е-b(t – τ) );

В первый интервал времени и'(t) = 100 α еατ . Поэтому

i1 (t)= u(0) g(t) + ot и'(τ) g(t - τ) dτ = [u(0)/R](1 – e-bt) +(100α/R) ot е –ατ(1-е-b(tτ))dτ =

= 100(1- е-0,5t) + 200(1 + е -0,5t – е -0,25t )

При t=2с i1 (t)= 100(1- е -1) + 200(1 + е -1 – 2е -0,5 ) = 94,9 А

Во второй интервал времени (включая скачок ( ub- ua ) = 36,9 В

i1 (t)= u(0) g(t) + ot и'(τ) g(t - τ) dτ + (ua - ub) g(t – t1) + t1t2 и2'(τ) g(t - τ) dτ

и2'(τ) =100c е –сτесt1 ;

i1 (t)= 100(1- е-0,5t) + 200(0,632 – 1,718 е -0,5t) + (39,6/0,5) (1-е-0,5(t-t1) ) –

- [100c/R(b-c)]{ -(b/c)e-ct + [(b-c)/c ]e ct1 + e ct1 e-c(tt1) } e ct1

При t = 5 с i1 = 204,32 А

7.3. Сравнение различных методов расчета переходных процес­сов. Классический и операторный методы расчета теоретически можно применять для решения задач любой сложности. Каким из них пользо­ваться, во многом зависит от навыка и привычки.

Однако классический метод физически более прозрачен, чем опера­торный, в котором решение уравнений во многом формализовано.

Если при сравнении методов исходить из объема вычислительной работы, то решение уравнений первого, второго, а иногда и третьего порядков для источников постоянной (синусоидальной) ЭДС или тока целесообразно проводить классическим методом, а решение уравнений более высоких порядков — операторным. Объясняется это тем, что чем выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и трудоемкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирова­ния в классическом методе. Операторный метод имеет перед классичес­ким явное преимущество при решении задач, в которых определение принужденной компоненты искомой величины оказывается затруднитель­ным вследствие сложного характера вынуждающей силы, а также при решении уравнений в частных производных . Если воздействующее напряжение изменяется во времени, например линейно или в виде всплеска одной или нескольких экспонент, рекомендуется применять операторный метод или интеграл Дюамеля. Но основной об­ластью применения интеграла Дюамеля являются случаи, когда напря­жение изменяется по сложному закону во времени, например при нали­чии скачков напряжения , или когда переходная проводимость g(t) и (или) воздействующее на схему напряжение заданы графически (в последнем случае интеграл Дюамеля берется путем численного интег­рирования).

Рассматриваемый метод расчета переходных процессов, получивший название метода пространства состояний, используется глав­ным образом, когда расчет осуществляется с применением ЭВМ. Для ручного счета этот метод громоздок.

Классический и операторный методы, а также метод пространства состояний в аналитической форме и интеграл Дюамеля имеют общий недостаток: необходимость определения всех корней характеристического уравнения, что для уравнений высоких степеней (например, 5-, 6-, 7-й, ...) требует много времени. В этих случаях может быть рекомендо­вано числовое решение на ЭВМ уравнений, составленных по методу про­странства состояний; может быть применен и спектральный метод в том виде, в каком он рассмотрен, например, в гл. 9. Кроме того, в этих слу­чаях используют моделирующие установки.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.