Главная | Обратная связь

Глава 8. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МЕХАНИЧЕСКИХ И ДРУГИХ СИСТЕМ

Разработка новых сложных механических, гидравлических и других систем связана со значительными трудностями, со­стоящими в том, что нет гарантии получения требуемых рас­четных величин и нет возможности провести экспериментальные исследования системы, поскольку она не выполнена в натуре. Поэтому при разработке той или иной системы при­бегают к созданию физической модели системы. Результаты исследования модели позволяют выявить действительные ха­рактеристики и дать рекомендации для корректировки параметров системы с целью получения оптимальных характеристик. Наиболее простыми и универсальными моделями для исследо­вания как стационарных, так и переходных режимов механиче­ских и других систем являются электрические модели, предста­вляющие собой электрические цепи с резистивными, емкостны­ми и индуктивными элементами, в которых аналогами исследуемых величин являются ток, напряжение, индуктивность и емкость. Выполнение электрической модели и проведение ее исследования не связано с какими-либо техническими трудно­стями и не требует значительных затрат. Создание же механической модели связано со значительными трудностями и капитальными затратами.

Рис.38 Механическая система (а) и ее электрическая модель (б)

Электрическая модель бу­дет соответствовать рель­ной системе, если матема­тическое описание модели и системы одинаковое.

Рассмотрим электриче­скую модель механической системы, изображенной

на рис.38, а. Механическая система состоит из тела 2 с массой m, пружины 1 и воздуш­ного демпфера 3, состоящего из поршня, расположенного в цилиндре. Допустим, тело 2 удерживалось в неподвижном состоянии внешней силой, когда пружина 1 была ненапряжен­ной. После удаления внешней силы под действием силы тяжести система придет в движение. Тело начнет опускаться, пружина — растягиваться, появится демпфирующая сила демпфера. Воз­никнет переходный процесс, который постепенно- затухнет и система снова окажется в неподвижном состоянии. Электри­ческой моделью рассмотренной механической системы явля­ется электрическая цепь с резистивным, индуктивным и емкост­ным элементами, изображенная на рис.38, б, так как диффе­ренциальное уравнение переходного процесса этой цепи при подключении ее к источнику с постоянным напряжением аналогично дифференциальному уравнению переходного про­цесса механической системы.

Уравнение движения механической системы имеет вид

F - F_l - F₂ = m (dv/dt) ( 222 )

где F- сила тяжести массы; F₁ = k₁х - упругая сила пружины; F₂ = k₂v - сила, развиваемая демпфером; х - перемещение те­ла от начального положения; v — скорость тела.

Таким образом, для механической системы

F = k₁.x + k₂v + m (dv/dt) ( 223 )

Уравнение переходного процесса электрической цепи

U = и_с + u_r + u_L = (1/C)∫ i dt + ir + L( di/dt). ( 224 )

Из сравнения уравнений (223) и (224) следует, что напряже­ние U, приложенное к цепи, является аналогом силы F, прило­женной к механической системе, напряжение и_с на емкости аналогом силы, развиваемой пружиной, ток i цепи — аналогом скорости v, и_r — аналогом силы, возникающей в демпфере, ин­дуктивность L— аналогом массы тела m.

Таким образом, благодаря единству уравнений электриче­ской цепи и механической системы исследование явлений в ме­ханической системе может быть произведено с помощью иссле­дования переходных процессов электрической цепи. Характер переходного процесса механической системы, так же как и ее электрической модели, может быть апериодическим или коле­бательным. В механической системе он определяется соотноше­нием массы тела, упругости пружины и1 демпфирующей силы демпфера, в электрической модели, как это доказано ранее — соотношением параметров цепи г, L, С.

Результаты решения уравнения электрической цепи будут отображать характер и длительность переходного процесса ме­ханической системы, если соблюдены соответствующие соотно­шения между параметрами механической системы и ее моделью —электрической цепью. Соотношения устанавлиаают-ся посредством масштабных коэффициентов. Значения и раз­мерность масштабных коэффициентов можно установить, если разделить почленно уравнение (223) на уравнение (224).

В результате получим

[U/F] = (m_F), В/Н ; [и_с/k₁х] = (m_F), В/Н ;

(ri/k₂v) = m_k2 m_v Ом∙м/(Н∙с)∙А∙с/м = В/Н;

[L(di/dt)/mdv/dt] = m_m m_dv/dt Гн∙ м/(Н∙с)∙ А∙с²/(с-м) = В/Н ( 225 )

Выразив в уравнении (224) соответствующие величины че­рез масштабные коэффициенты, получим уравнение электриче­ской цепи с учетом масштабных коэффициентов

U/m_F = (u_c/ m_F) + ( ri/ m_k2 m_v) + [L(di/dt)/ m_m m_dv/dt] ( 226 )