 |
|
Операторный метод расчета переходных процессов.
В настоящее время разработано большое число методов расчета переходных процессов с использованием операционного исчисления [ ]. Ниже рассмотрен один из вариантов такого подхода.
1.Произвести замену отдельных элементов цепи на изображения , полученные согласно преобразованиям Лапласа.
2.Зарисовать эквивалентную операторную схему расчетной цепи предстамвляя элементы в виде преобразованных элементов.
3.Составить систему уравнений по законам Кирхгофа или по методу контурнызх токов(любой другой метод) для искомых величин - ис , ic и т.д. как функции от переменной р [ис = f(р);…].
4.Решить систему относительно одного неизвестного, например ис .
5.Определить корни уравнения, приравняв знаменатель получаемого иногочлена к нулю.
6.Провести обратное преобразование Лапласа относительно найденного изображения, используя известные табличные данные.
Пример расчета.
Схема замещения (расчетная).
Исходные данные:
Е = 100 В; R1=5 Ом; R2 = 15 Ом; L= 3000 мГн; С = 250 мкФ
Определить:
Найти закон изменения токов и напряжения на конденсаторе после размыкания рубильника.
1.составим уравнения по законам Кирхгофа для послекоммутационного состояния схемы:
Е = iL∙R1 + L(di/dt) + uc ;
uc - iR R2 = 0 ;
iL = iR + ic ;
ic = C(duc/dt)
где ic = C(duc/dt) – соотношение между током и напряжением на конденсаторе
2.Решим систему относительно одного неизвестного, например uc.Подставим значение тока iL = iR + ic = uС/R2 + C(duc/dt) в первое уравнение системы и получим уравнение для решения поставленной задачи
Е = LC[d2uc/dt2] +[(L + R1R2C)/R2]( duc/dt) + [(R1+R2)/R2] uc
3.Рассмотрим работу цепи до коммутации
iL(0)=0; uc(0) = Е
Следовательно, основные начальные условия: iL(0-)=0; uc(0- ) = Е
4.Представим ток и напряжение через принужденную и свободную составляющие:
iL = iLпр + iLсв. ; uС = uСпр + uСсв
где iLпр и uСпр – принужденные составляющие( установившиеся значения);
iLсв. и uСсв – свободные составляющие.
5.Определим токи и напряженеие в режиме после коммутации во-время после окончания переходного процесса (установившееся значение)
iLпр = Е / (R1 + R2) ; iLпр = iR1пр ; iCпр = 0; uСпр = иR2 =ЕR2 /( R1 + R2)
6. Для определения неосновных начальных условий запишем систему уравнений для момента времени t = 0
Е = 0∙R1 + L(di/dt)|t=0 + Е ;
Е- iR(0)∙R2 = 0 ;
0 = iR (0) + ic(0) ;
(duc/dt)t=0 = ( ic /C)
Решив совместно данные уравнения, получим:
(duc/dt)t=0 = 0; iR (0) = Е / R2 ; -iR (0) = ic(0); (duc/dt)t=0 = -Е /R2С
7. Определим корни уравнения. Для этого составим характеристическое уравнение
Z(jω) = R1 + jωL + (R2/ jωC) / [ R2 + 1/ jωC ]
Заменим jω на р
Z(p) = R1 + pL + (R2/ pC) / [ R2 + 1/ pC ] = R2LC[p2 + p(R1R2C +L)/ R2LC +(R1+R2)/ R2LC] = 0
Обозначим (R1+R2)/ R2LC] = ωо2 ; (R1R2C +L)/ R2LC = 2δ
Получим уравнение
Р2 + 2δр + ωо2 = 0
Отсюда
Р1,2 = -δ ± √ δ2 - ωо2 = -141,65 ±√20064,72 – 17780 =-141,65 ± 47,8;
Р1 = - 93,85 с-1; р2 = -189,45 с-1
Решение показывает, что корни действительные, отрицательные и разные. Это означает, что переходный процесс апериодический.
Значит , свободная составляющая может быть представлена в виде уравнения
иСсв = А1 ∙е р1t + А2 ∙е р2t
8. Закон изменения напряжения можем записать в виде уравнения
uС = uСпр + иСсв = Е + А1 ∙е р1t + А2 ∙е р2t = Е R2/ (R1 + R2) + А1 ∙е р1t + А2 ∙е р2t;
Уравнение содержит два неизвестных А1 и А2. Второе уравнение получаем путем дифференцирования этого уравнения
(duc/dt) = 0 + р1 А1 ∙е р1t + р2А2 ∙е р2t
89Для определения постоянных интегрирования А1 и А2 запишем эти уравнения для момента времени t=0
Е = Е R2/ (R1 + R2) + А1 + А2
- Е /R2С = р1А1 + р2А2
Решив совместно эти уравнения , получим
А1 = -229,54; А2 = 254,54
10. Таким образом, закон изменения напряжения на конденсаторе
uС = 75 - 229,54 е -93,85t + 254?54 e -189,45t
11.Закон изменения тока через конденсатор
ic = C(duc/dt) = 5,38 е -93,85t – 12,1 e -189,45t
12.Закон изменения тока через сопротивление R2
iR = uС / R2 = 5 – 15?3 е -93,85t + 16,97 e -189,45t
13. Ток через индуктивность можно определить
либо по уравнению iL = iR + ic = 5 – 9,92 е -93,85t + 4,87 e -189,45t
либо по уравнению iL = iLпр + А3 ∙е р1t + А4 ∙е р2t
14.Графическое представление решения.
Для уравнения uС = 75 - 229,54 е -93,85t + 254,54 e -189,45t
14.1 Строим систему координат для переменных uС = f(t).
14.2 Выбираем интервал t = (0…5)τ.
Под величиной τ понимаем величину 1/р1 – для апериодического процесса.
14.3 Строим таблицу в 4 строки: t; 229,54 е -93,85t; 254,54 e -189,45t; uС .
14.4 По полученным данным строим кривую в переходном режиме времени
t = (0…5)τ.