 |
|
Операторный метод расчета переходных процессов
1.Начальным этапом расчета является изображение схемы замещения новой эквивалентной схемой, выраженной через изображения отдельных элементов.
Из теоретического курса известно, что изображением постоянной ЭДС является функция F(p) = E/p;
изображение индуктивного сопротивления
ХL(р) = рL;
изображение емкостного сопротивления
Хс(р) = 1/рС
При наличии ненулевых начальных условий источник, учитывающий ис(0-), изображается
Uc(0-)t=0 = Uc(0-) /р
Ток через индуктивность iL(0-) изображается
iL(0-)∙ L
Расчетная схема.
Методика расчета переходных процессов операторным методом
Можно наметить два основных варианта расчета
2.для цепи операторного изображения расчетной схемы составлятся дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа; либо методу контурных токов; либо любым известным методом расчета. От дифференциальных уравнений переходят к операторной форме записи с учетом основных начальных условий. Решают эти уравнения совместно. Находят изображения искомых токов и напряжений.
Для вышерассмотренной схемы ( см. рис. ) уравнения в операторной форме для послекоммутационного режима будут иметь вид:
IL(p) = IR(p) + Ic(p)
(Е/р) = L[ p∙IL(p) - iL(0-)] + IL(p)R1 + Ic(p)/рС + Uc(0-) /р
IR(р)∙R - Ic(p) /рС - Uc(0-) /р = 0
Ic(p) = Ср∙ Uc(р) - С∙ Uc(0-)
3.Исходное состояние цепи в докоммутационный период, т.е. до переключения рубильника, и запишем все токи и напряжения при наличии источника постоянной ЭДС
iL(0-)=0; uc(0-) = Е; ic (0) = 0; iR (0) = Е/R2 ; uL(0-) = 0
4.В расчетной схеме имеется два узла и три ветви.. для определения изображения напряжения на конденсаторе в данной схеме рационально использовать метод узловых потенциалов. Обозначим потенциалы узлов 2 и 1 через
φ2 (р) и φ1(р). Примем φ1(р) = 0. тогда для [φ2(р)- φ1(р) ] составим уравнение
φ2(р)∙[ (1/R2) + 1/ (R1+pL) + pC] = { [ (Е/р) + iL(0-)∙ L] /(R1 + pL)} + С∙ Uc(0-)
или
φ2(р)∙[р2 LC R2 + p(L + R2R1C) + (R1+R2)] /[R2(R1+ pL)] = {[ (Е/р) + iL(0-)∙ L] +
+ С∙ Uc(0-)∙(R1 + pL) }/(R1 + pL)
После преобразования имеем
φ2(р) = {[ (Е/р) + iL(0-)∙ L + С∙ Uc(0-)∙(R1 + pL) ] R2} /[р2 LC R2 + p(L + R2R1C) + (R1+R2)]
Для данной схемы
Uc(р) = φ2(р) - Uc(0-) /р ={{[ (Е/р) + iL(0-)∙L + С∙ Uc(0-)∙(R1 + pL) ] рR2} ─Uc(0-)∙
∙[р2 LC R2 + p(L + R2R1C) + (R1+R2)]}} / p[р2 LC R2 + p(L + R2R1C) + (R1+R2)]
В знаменателе вынесем за скобки LCR2 .Обозначим 2δ = (L + R2R1C)/ LCR2 и ωо2 = (R1+R2) / LCR2. После преобразования числителя, получим в числителе
-Е(R1 + pL).
Окончательно получим уравнение
Uc(р) = - (Е/ LCR2)∙ {(R1 + pL). /р[(р2 + 2δр + ωо2)] }
В квадратных скобках получим характеристическое уравнение, аналогичное уравнению при решении задачи классическим методом.
р2 + 2δр + ωо2 = 0
Р1,2 = -δ ± √ δ2 – ωо2
К нему добавляется р = 0 (множитель в знаменателе)
Обозначим числитель через N(p), а знаменатель в скобках - М(р). Таким образом изображение напряжения на конденсаторе можно представить как
Uc(р) = - (Е/ LCR2)∙[N(p)/р∙ М(р)]
Изображение токов можно получить из уравнений
IR2(p)R2 = [φ2(р)- φ1(р) ]
[φ2(р)- φ1(р) ] = [ (Е/р) + iL(0-)∙ L + IL(p) ∙(R1 +pL)]
[φ2(р)- φ1(р) ] = Ic(p)∙(1/pC) + Uc(0-)/p
Последний этап решения задачи – переход от полученных изображений неизвестных величин обратно к оригиналам.
Этот переход осуществляется по теореме разложения или с применением таблиц.
Для изображения Uc(р) = - (Е/ LCR2)∙ [N(p)/р∙ М(р)] переход осуществляется по формуле
Uc(t) =- (Е/ LCR2)∙ { N(0)/М(0) + к=1∑n [N(pк)/рк∙ М' (рк)] е рк t }
В этих уравнениях член уравнения N(0)/М(0) является решением преобразования для р=0 ( принужденная составляющая). Величина М' (рк) – производная от уравнения в знаменателе (р2 + 2δр + ωо2) при значениях р = р1 и р = р2 (к= 1; 2)
При расчетах используют ряд известных соотношений, например:
М' (р1) = р1 – р2
М' (р2) = - ( р1 – р2 )
ωо2 = р1 ∙р2
Для вышеупомянутого примера:
Uc(t) =- (Е/ LCR2)∙{N(0)/М(0) + [N(p1)/р1∙ М' (р1)] е р1t +[N(p2)/р2∙ М' (р2)] е р2 t }
где N(pк) = (R1 + pL); М(р) = (р2 + 2δр + ωо2);
N(0) = R1; М(0) = ωо2 ; М' (рк)] = 2р + 2δ;
М' (р1) = ( р1 – р2 ); М' (р2)= - ( р1 – р2 )
Uc(t) = - (Е/ LCR2)∙{(R1/ ωо2) + [(R1 + p1L) / p1( р1 – р2 )] е р1t -
- [(R1 + p2L) / p2( р1 – р2 )] е р2t } ;
После преобразований получим
Uc(t) = Е + Е [ р2 е р1t – р1 е р2t] /( р1 – р2 ) + (Е/R1C) [ е р1t – е р2t] /( р1 – р2 )
Воспользуемся формулами перехода
1/F(p) = [ е р1t – е р2t] /( р1 – р2 ) .=˙ (е –δt/ω') sin ω't
p/F(p) = [ р2 е р1t – р1 е р2t] /( р1 – р2 ) .=˙ е –δt ( ωo/ ω') sin (ω't – β);
1/ pF(p) = (1/ ωo2){1+ [ р2 е р1t – р1 е р2t] /( р1 – р2 )} .=˙
.=˙ (1/ ωo2){1─ е –δt ( ωo/ ω') sin (ω't – β);
Это формулы варианта перехода к оригиналам по теореме разложения. При этом β = arc tg (ω'/δ); ω' =| √ δ2 – ωо2 |
Окончательно получаем ответ
Uc(t) = E + Е е –δt ( ωo/ ω') sin (ω't – β) + (Е/R1C) е –δt (1/ω') sin ω't
Затем приступаем к графическому представлению решения по ранее рассмотренной методике.
Вопросы для самопроверки.
1.Дайте определение переходному процессу.2.Что понимают под принужденными (установившимися) и свободными токами и напряжениями. 3. Существуют ли электрические цепи,подключение которых к источнику постоянного напряжения создает в этой цепи установившиеся значения тока сразу после коммутации без переходного процесса? 4.Сформулируйте законы (правила) коммутации.
5.В чем заключается смысл первого и второго законов коммутации? 6. Дайте определения зависим и независимым начальным условиям. 7. Какие Вы знаете способы составления характеристического уравнения ? 8. Каков физический смысл постоянной времени ? 9. Объясните, почему при составлении характеристического уравнения путем приравнивания к нулю входного сопротивления Z(p) = N(p)/ M(p) в общем случае нельзя сокращать числитель и знаменатель на общий множитель. 10. Чем определяется число корней характеристического уравнения? 11. Изложите сущность классического метода расчета и принцип составления кравнений для определения постоянных интегрирования. 12. Переходный процесс в некоторой цепи сопровождается биениями. О чем это может свидетельствовать? 13.Дайте обоснование обобщенным законам коммутации. 14. Охарактеризуйте общее и разницу для апериодического и граничного режимов.15. Что определяеи степень характеристического уравнения? 16. Приведите примеры преобразования элементов реальной схемы в эквивалентные элементы для операторной схемы. 17.Запишите известные Вам соотношения между f(t) и F(p), а также теоремы операторного метода и предельное соотношение.. 18. Почему р называют комплексной величиной?19. Охарактеризуйте этапы расчета операторным методом. Что означает прямое и обратное преобразование Лапласа? 20. В чем особенности расчета переходных процессов операторным методом при синусоидальном источнике? 21. Охарактеризуйте особенности расчета с ненулевыми начальными условиями? 22. Охарактеризуйте свойства единичной функции 1(t) и свойства дельта –функции δ(t).23. Охарактеризуйте идею расчета с помощью интеграла Дюамеля. 24. Поясните принцип работы интегрирующих и дифференцирующих цепей.. 25. Охарактеризуйте сильные и слабые стороны известных Вам методов расчета переходных процессов. 26.Что такое электрическое моделирование переходных процессов механических и других систем?
Заключение
Данное методическое пособие представляет собой четвертую часть раздела “Линейные электрические цепи” дисциплины “Теоретические основы электротехники” студентами вузов, осуществляющих подготовку педагогов и инженеров по электротехническим направлениям. Пособие может быть также использовано в целях углубления изучения дисциплин “ Электротехника и электроника” и “ Электрические цепи и сигналы”.
Пособие содержит основные сведения о переходных процессах, происходящих в цепях ; даны определения изображения переходных процессов в виде дифференциальных уравнений; роассмотрены основные принципы классического метода расчета цепей; операторного метода расчета; типы периодических процессов в цепях; переходные процессы в цепях с одним последовательным , и смешанным соединением реактивных элементов; цепей с двумя реактивными элементами.
Данное пособие служит теоретической базой при изучении специальных дисциплин электротехнического направления, также предназначено молодым преподавателя при подготовке практического курса занятий.
Список литературы
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учеб. для электротехн., энерг., приборостр. спец. вузов, 10-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2003. - 612 с.: ил.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: Учеб. для электротехн., энерг., приборостр. спец. вузов, 9-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 2002.- 638 с.: ил.
3.Демирчян К.С., Бутырин П.А.. Моделирование и машинный расчет электрических цепей: Учеб. пособие для электр. и электроэнерг. спец. вузов. М.: Высш. шк., 1988. 335 с.: ил.
4. Комплексный метод расчета электрических цепей: Метод. указания / Екатеринбург: Урал. гос. проф.пед. ун-т, 1994. 84 с.
5. Нейман Л.Р.,. Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: Учеб. для вузов: в 2 т. Т.1. 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. 536 с.: ил.
6. Нейман Л.Р., Демирчян К.С.. Теоретические основы электротехники: Учеб. для вузов: в 2 т. Т.2. 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. 416 с.: ил.
7. Расчет линейных электрических цепей при переменном токе и построение векторных диаграмм: Метод. указания /Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1988. 104 с.
8. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для энерг. и приборостр. спец. вузов. - 3-е изд., перераб. и доп. / Л.А. Бесонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди и др.; Под ред. Л.А. Бесонова – М.: Высш. шк., 1988. – 543 с.: ил.
9. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие для вузов / Под ред. П.А. Ионкина. М.: Энергоиздат, 1982. – 786 с.: ил.
Клюшников Олег Иванович
Степанов Александр Валерьевич
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Часть 4
Переходные процессы в линейных электрических цепях
Учебное пособие
Редактор
Компьютерная верстка
Печатается по постановлению
редакционно-издательского совета университета
Подписано в печать .Формат Бумага для множ. аппаратов.
Печать плоская. Усл.-изд. л. Тираж экз. Заказ №
Издательство ГОУ ВПО <<Российский государственный профессионально-
педагогический университет>>, Екатеринбург,ул.Машиностроителей,11
 |
Ризограф ГОУ ВПО <<Российский государственный профессионально-
педагогический университет>>, Екатеринбург,ул.Машиностроителей,11