 |
|
Графічне розв’язування рівнянь з параметрами
Використовуючи графічний метод, можна побачити, при яких значеннях параметра рівняння має розв’язки (і скільки), при яких – не має. Цей метод складається з таких етапів:
ü знаходимо область допустимих значень невідомого і параметрів, що входять до рівняння;
ü виражаємо параметр як функцію від невідомого: 
;
ü у системі координат 
будуємо графік функції 
для тих значень 
, які входять в область визначення рівняння;
ü знаходимо точки перетину прямої 
з графіком 
. Можливі випадки:
Ø пряма 
не перетинає графік функції . При цьому значенні 
рівняння розв’язків не має;
Ø пряма 
перетинає графік функції . Визначаємо абсциси точок перетину. Для цього достатньо розв’язати рівняння .
ü записуємо відповідь.
Приклад 1.Розв’язати рівняння 
Розв’язування: областю визначення даного рівняння 
, 
. Знайдемо корінь виразу, що стоїть під знаком модуля: 
.
Якщо 
, рівняння набирає вигляду: 
.
Якщо 
, маємо: 
.
У системі координат 
будуємо графіки функцій, 
для та 
для .
Далі знаходимо точки перетину прямої 
з графіком функції 
. Пряма 
має з графіком функції 
лише одну спільну точку, абсциса якої дорівнює 
.
Якщо 
, рівняння розв’язків не має, оскільки пряма не перетинає графік .
Якщо 
, пряма перетинає графік у двох точках, абсциси яких 
і 
можна знайти з рівняння 
:
; 
.
Якщо 
, то перетином прямої з графіком функції є дві точки з абсцисами 
і , де – менший корінь рівняння ; 
– більший корінь рівняння 
, тобто ; 
.
Відповідь. Якщо , рівняння розв’язків не має; якщо 
, 
; якщо , ; ; якщо , ; .
Приклад 2.При якому значенні параметра 
рівняння: 
має три розв’язки?
Розв’язування: запишемо рівняння у вигляді: 
.
Область визначення рівняння , 
.
Побудуємо (схематично) графіки функцій 
та 
.
Графік функції 
виділено на малюнку жирною лінією, графіком функції 
є пряма лінія.
Якщо 
, то пряма перетинає криву у трьох точках з абсцисами ; 1; .
Відповідь. 10.
Приклад 3.При якому найменшому додатному цілому значенні рівняння: 
має два корені?
Розв’язування: область визначення рівняння , .
У системі координат 
будуємо графіки 
та 
. Корінь виразу, що стоїть під знаком модуля, 
.
Якщо 
, функція набирає вигляду: 
; якщо 
, 
.
Побудуємо (схематично) графік функції .
Якщо 
або 
, то пряма 
перетинає криву у трьох точках.
Якщо 
, то пряма 
перетинає графік у чотирьох точках.
Якщо 
, то пряма і крива мають єдину спільну точку.
Щоб пряма перетинала криву у двох точках, необхідно, щоб 
.
Найменшим додатним цілим значенням параметра буде число 5.
Відповідь. 5.
Приклад 4.При якому найменшому значенні параметра 
рівняння 
має корені?
Розв’язування: побудуємо графік функції 
Розкриваємо модулі: при 
; при 
; при 
Схематично побудуємо цей графік:
Оскільки область значень функції 
, то 
, або 
.
Відповідь. 1,5.
Приклад 5.Розв’язати графічно рівняння 
.
Розв’язування: коренями рівняння 
є абсциси точок перетину графіків функцій 
і 
, тому побудуємо графіки функцій 
і 
.
Перетворимо ліву частину даного рівняння .
Якщо 
, то 
, 
.
Якщо 
, то 
, 
.
Перший графік будуємо, використовуючи метод інтервалів, а графіком функції є пряма, паралельна осі абсцис.
Проведемо дослідження за допомогою графіків.
1) Якщо 
, пряма перетинає графік в одній точці, абсциса якої: 
.
2) Якщо 
, одержуємо дві точки перетину з абсцисами: 
, 
.
3) Якщо 
, одержуємо три точки перетину: 
, 
, 
4) Якщо 
, одержуємо дві точки перетину з абсцисами: 
, 
.
5) Якщо 
, одержуємо одну точку перетину з абсцисою 
.
Відповідь. Якщо , ; якщо , 
; якщо , 
, ; якщо , , 
; якщо , 
Приклад 6.Скільки коренів має рівняння 
залежно від значення параметра 
?
Розв’язування: побудуємо графіки функцій 
і .
Проведемо дослідження за допомогою графіків.
Відповідь. Якщо , немає коренів; якщо , 3 корені; якщо 6 коренів; якщо , 4 корені; якщо 
, 2 корені.
Приклад 7.Визначити кількість коренів має рівняння 
залежно від значення параметра ?
Розв’язування: побудуємо графіки функцій 
і .
Проведемо дослідження за допомогою графіків.
Відповідь. Якщо , немає коренів; якщо , 2 корені; якщо 4 корені; якщо , 3 корені; якщо 
, 2 корені.