 |
|
Розв’язування задач з параметрами з ЗНО
Задача:Розв’яжіть рівняння залежно від значень параметра а 
Розв’язування: запишемо дане рівняння у вигляді: 
.
Спочатку розв’яжемо його аналітичним методом. ОДЗ рівняння: 
Дане рівняння на ОДЗ рівносильне сукупності рівнянь: 
(1)
Очевидно, що перше рівняння має корінь 
при всіх значеннях параметра а. Розв’яжемо друге рівняння з урахуванням ОДЗ.
Нехай 
, тоді:
Нехай 
, тоді:
Визначимо при яких значеннях параметра корені 
і 
співпадають: 
, 
тобто на кінці проміжку.
Відповідь: при 
,
при 
при 
і .
Задача: При якому найменшому значенні параметра a рівняння
(2х+13) 0,5(x2+16x+64)0.5 - (x2-14x+49)0.5 = a(2x+13)0.5 має лише два різні корені?
Розв’язування:визначимо множину, на якій можуть існувати дійсні розв’язки.
ОДЗ. 2х+13 
0, х - 6,5;
x2 + 16x + 64 = (х + 8)2 0;
x2 - 14x + 49 = (х - 7)2 0;
Із правої частини доданок перенесемо в ліву частину і розкладемо на множники праву частину:
(2х+13) 0,5 (x2+16x+64)0.5 - (x2-14x+49)0.5 - a(2x+13)0.5 = 0;
(2х+13) 0,5((x2+16x+64)0.5 - (x2-14x+49)0.5 - a) = 0;
Кожний множник прирівняємо до нуля.
(x2+16x+64)0.5 - (x2-14x+49)0.5 – a = 0 або (2х+13) 0,5= 0;
Друге рівняння має один розв’язок, а саме:
(2х+13) 0,5= 0;
2х = -13
х = - 6,5 належить ОДЗ.
Перше рівняння має розв’язки, а саме:
(x2-14x+49)0.5 = |x - 7|
(x2+16x+64)0.5 = |x + 8|
|x+8| - |x -7| = a;
Ліва частина рівняння – це функція у = |x+8| - |x -7|
Розкриємо модулі на трьох проміжках: (- 
; -8); [-8; 7); [7; ) і отримаємо, що
у1 = -15, х є (- ; -8); графіком є промінь.
у2 = 2х+1, х є [-8; 7); графіком є відрізок.
у2 = 15, х є [7; ); графіком є промінь.
Права частина рівняння – це функція у = а пряма, що паралельна осі абсцис.
У підсумку отримаємо:
Якщо а є[7; 
), то немає розв’язків.
Якщо а = 15, то розв’язків безліч, це числа із проміжку х є[7; ).
Якщо а є (-15;15), то один розв’язок, а саме 2х+1= а; x = 0,5(a-1).
Якщо а = -15, то розв’язків безліч, це числа із проміжку х є(- ; -8]
Якщо а є(- ; -8), то немає розв’язків.
Таким чином, перевіримо випадки, якщо а є {-14, -13, -12},
Якщо а= -14, то x1 = 0,5(a - 1)= 0,5(-14-1)=-7,5, але цей корінь не належить ОДЗ та х2 = - 6,5. Не задовольняє умову задачі, бо лише один корінь.
Якщо а= -13, то x1 = 0,5(a - 1)= 0,5(-13-1)=-7, але цей корінь не належить ОДЗ та х2 = - 6,5. Не задовольняє умову задачі, бо лише один корінь.
Якщо а= -12, то x1 = 0,5(a - 1)= 0,5(-12-1)=-6,5, а цей корінь належить ОДЗ та х2 = - 6,5. Не задовольняє умову задачі, бо два корені однакові.
Якщо а=-11, то
x1 = 0,5(-11-1)=-6, і цей корінь вже належить ОДЗ
х2 = - 6,5. Цей випадок задовольняє умову задачі, бо два корені різні.
Відповідь; -11.
ВИСНОВКИ
В даній роботі поставлену мету можна вважати досягнутою, оскільки в цій роботі детально розглянуто:
1) Основні види задач з параметрами.
2) Теоретичний матеріал з даної теми.
3) Основні методи розв’язання задач з параметрами.
Дана робота може бути використана учнями 9, 10, 11 класів при підготовці до ДПА та ЗНО.
Формулювання задач з параметром не виходить за межі шкільної програми і для їх розв’язування не потрібні якісь спеціальні знання. Основне при розв’язуванні таких задач – це ідея. А для цього необхідні логічні міркування, добре знання теоретичного матеріалу, вміння поєднувати в єдине ціле знання з кількох розділів математики.
Склалася думка, що розв’язувати задачі з параметрами необхідно тільки для того, щоб розв’язати таку задачу при вступі до вузу. Але задачам з параметрами необхідно приділяти більше уваги при вивченні математики. Адже в процесі їх розв’язання збагачується математична культура учня, підвищуються його логічні і технічні можливості, виробляються початкові навички дослідницької діяльності. На мою думку, розв’язування таких задач приносить значно більше користі, ніж розв’язування, наприклад, громіздких прикладів на спрощення виразів чи однотипних рівнянь.