 |
|
Индивидуальное задание
Исследуйте поверхность 
.
1. Укажите “естественную” область определения поверхности.
2. Является ли поверхность регулярной?
3. С помощью замены параметров или преобразования системы координат упростите уравнение поверхности, если это возможно.
4. Напишите уравнения координатных линий и определите их геометрические образы.
5. Составьте уравнение касательной плоскости и нормали поверхности в точке, соответствующей 
( выбрать самостоятельно).
6. Найдите первую квадратичную форму поверхности.
7. Вычислите угол между координатными линиями.
8. Найдите или оцените площадь куска поверхности, ограниченного линиями 
(константы 
выбрать самостоятельно).
9. Найдите вторую квадратичную форму поверхности.
10. Напишите уравнение индикатрисы Дюпена и выясните ее геометрический образ.
11. Найдите: а) главные кривизны поверхности;
б) гауссову и среднюю кривизны поверхности.
12. Определите тип точек поверхности.
13. Изометрична ли поверхность: а) плоскости;
б) цилиндру;
в) сфере;
г) псевдосфере?
14. Является ли поверхность минимальной?
15. Напишите уравнение геодезических кривых на поверхности и определите их геометрические образы.
ВАРИАНТЫ
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23)
24) 
Пример выполнения варианта индивидуального задания
Исследуйте поверхность 
1. «Естественная» область определения кривой 
2. Регулярность:
а) 
б) Проверим 
– особая точка
точка 
- особая точка
поверхность с особой точкой.
3. Нет необходимости.
4. Запишем уравнения координатных линий и выясним, что это за кривые:
u – линия 
семейство парабол
– семейство плоских кривых
v – линия u 
семейство окружностей, 
лежащих в плоскости 
5. Составим уравнение касательной плоскости и нормали в произвольной точке.
– касательная плоскость
6. Найдем первую квадратичную форму:
7. Найти угол между координатными линиями
координатная сеть ортогональна.
8. Найдем или оценим площадь части поверхности
9. Найдем вторую квадратичную форму
10. Составим уравнение индикатрисы Дюпена и определим геометрическое место точек.
(область регулярности поверхности)
11. Найдем главную кривизну поверхности, гауссову и среднюю кривизну:
12. Определим тип точек поверхности.
Так как 
эллиптические точки
13. Выясним изометрична ли поверхность:
а) плоскость 
б) сфера 
в) псевдосфера 
14. Является ли поверхность минимальной?
Так как 
, то поверхность не минимальна.
15. Запишем уравнение геодезических кривых на поверхности и определим их геометрические образы:
Символ Кристофеля:
Так как параболоид поверхность вращения, то геодезическими линиями являются меридианы: в данном случае u- линии, v=const: 
.
ОБРАЗЕЦ
Экзаменационного задания для письменного экзамена
1. Главные направления поверхности. Линии кривизны на поверхности.
2. В каждой ли точке регулярной кривой существует касательная?
3. Сколько существует натуральных параметризаций кривой?
4. Зависит ли кривизна кривой от параметризации?
5. Докажите, что кручение винтовой линии постоянно.
6. Дана поверхность 
а) перпендикулярны ли координатные линии?
б) найдите нормальную кривизну в главных направлениях касательной плоскости в произвольной точке поверхности;
в) найдите гауссову кривизну поверхности;
г) изометрична ли поверхность сфере?
7. Сколько геодезических можно провести через данную точку поверхности?
ПРОГРАММА
Рассчитана на 7 занятий
1. Понятие поверхности. Способы задания поверхностей
2. Регулярные поверхности
3. Метрика на поверхности
4-5. Искривленность поверхности
6. Классификация поверхностей
7. Геодезические линии на поверхности
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. –
М.: Наука, 1974. – 366 с.
2. Новиков С.П. Элементы дифференциальной геометрии и
топологии / С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. – М.: Наука,
1987. – 268 с.
3. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология
кривых / Ю.А. Аминов. – М.: Наука, 1987. – 288 с.
4. Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная
геометрия / М.М. Постников. – М.: Наука, 1979. – 196 с.
5. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии /
П.К. Рашевский. – 5-е изд., испр..- М.: Издательство ЛКИ,
2008. - 432 с.
6. Борисенко О. А. Диференціальна геометрія і топологія: навч. посібник / О. А. Борисенко. - Харьків : Основа, 1995. - 304 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие…………………………………………………………………………………….3
Контрольный тест………………………………………………………………………………4
Занятие І. Понятие поверхности. Способы задания поверхностей…………………..……...7
1.1. Составляем опорный конспект………………………………..…………….7
1.2. Контрольные вопросы………………………………………………………10
1.3. Задачи и упражнения………………………………………………………..12
Занятие ІІ. Регулярные поверхности…………………………………………………………16
2.1. Составляем опорный конспект……………………………………………..16
2.2. Контрольные вопросы………………………………………………………19
2.3. Задачи и упражнения………………………………………………………..21
Занятие ІІІ. Метрика на поверхности………………………………………………………...24
3.1. Составляем опорный конспект………...…………………………………...24
3.2. Контрольные вопросы………………………………………………………27
3.3. Задачи и упражнения………………………………………………………..30
Занятие ІV - V. Искривленность поверхности………………………………………………37
4.1. Составляем опорный конспект………...…………………………………...37
4.2. Контрольные вопросы………………………………………………………41
4.3. Задачи и упражнения………………………………………………………..41
Занятие VI. Классификация поверхностей…………………………………………………..48
6.1. Составляем опорный конспект…………………………………………......48
6.2. Контрольные вопросы………………………………………………………51
6.3. Задачи и упражнения………………………………………………………..53
Занятия VII. Геодезические линии на поверхности…………………………………………56
7.1. Составляем опорный конспект……………………………………………..56
7.2. Контрольные вопросы………………………………………………………58
7.3. Задачи и упражнения………………………………………………………..60
Индивидуальное задание……………………………………………………………………..63
Варианты……………………………………………………………………………………….64
Пример выполнения варианта индивидуального задания………………………………….65
Образец экзаменационного задания для письменного экзамена…………………………..70
Рекомендуемая литература…………………………………………………………………...71