 |
|
Дослідження розміщення площини відносно сист координат за її зг р-ням
Різні р-ння площини, відстань від точки до площини
Означення: Площиною яка проходить через т. 
паралельно до векторів 
і 
наз. мн точок M простору для яких викон умова 
= U +V (1), U,V є R. – поч точка, і – напрямні вектори
Способи задання площини
= U 
+V 
– векторно параметричне
Розглянемо деякий афінний репер R = 
ы нехай т ( 
, 
, 
) ( 
, 
, 
), ( 
, 
, 
), M(x,y,z)
=(x- ; y- 
; z- 
)
(2) – параметричне рівняння
Очевидно що 3 вектори 
, , є компланарними і лежать в одній площині , тоді det ( , , )=0
= 0 = x- 
+ y- 
+ z- 
= (x- )A + (y- )B + ( z- )C = Ax + By + Cz + D = 0 (3) – загальне р-ння площини
( , , ); 
( 
, 
, 
); 
( 
, 
, 
) вважаємо що ці точки не лежать на одній прямій (вектори не колінеарні). А отже разом з точкою визначають площину. Зафіксуємо довільну точку M(x, y, z) тоді очевидно вектори 
, 
, 
– компланарні , звідси слідує що det =0
= 0 (4) – р – ння що задається трьома точками
Нехай маємо площину, яка перетинає осі координат ox, oy, oz відповідно в точках A, B, C , тоді A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c)
= bcx – abc +abz + acy = 0
Bcx +abz + acy = abc поділимо на с
+ 
+ 
=1 (5) – р-ння у відрізках на осях
Якщо у р-нні (3) 
+ 
+ 
= 1 то таке р-ння назвемо нормальнимр-нямзапишемо його так : x 
+ y 
+ z 
– P =0(6) – нормальне р-ння, P – відстань від початку координат, 
, – напрямні вектори OM.
Нехай площину в просторі задано початковою точкою і нормальним вектором n
= (A,B,C), ( , , ), M 
, =(x- ; y- ; z- )
; )=0, тоді 
; 
)= (x- 
)A + (y- 
)B + ( z- 
)C (7) – р-ння площини що задана поч. точкою та нормальним вектором
Дослідження розміщення площини відносно сист координат за її зг р-ням
Нехай маємо деяку площину П – задану р- ням Ax+By+Cz=0 і розгул деякий вектор 
( 
, 
, 
) який є паралельний до площини П. Внесемо умову паралельності паралельності вектора до площини.
Нехай площина П має напр. вектори 
( 
, 
, 
), 
( 
, 
, 
), тоді всі ці вектори є компланарні.
= = 
+ 
+ 
= A 
+ B 
+ C 
– умова паралельномтівектора P до площини П
Дослідимо розміщення площини відносно системи координат в залежності який із коефіцієнтів зг р-ння рівний нулю
Розгл випадки:
· D=0 , тоді Ax + By + Cz =0 т О(0,0,0) задоволн р-ння , отже тоді площина пройде черз початок координат
· А= 0, By+ Cz+ D = 0, тлді 
(0,B,C) 
(1,0,0) тоді * = 0 звідси слідує що 
а отже площина паралельна до осі ox.
· B = 0, Ax+Cz+D=0, площина паралельна до осі оy аналог
· C=0
· A=D=0, оскільки А=0 то площина паралельна до осі ox, D=0 –проходить через початок координат тоді площина проходить через вісь ox
· B=D=0
· C=D=0
· A=B=0, Cz+D=0, Cz= -D, z= 
отрим площину яка паралельна до осі xoy і відалена на відстані .
· A=C=0
· C=B=0
· A=B=D=0 отрим координатну площину xoy
· A=C=D=0
· B=C=D