 |
|
Некоторые теоремы о равносильности систем уравнений
Теорема 1. Если любое уравнение системы заменить равносильным ему уравнением, полученным тождественным преобразованием исходного уравнения, то получится система уравнений, равносильная данной системе.
Теорема 2. Если к какому-нибудь уравнению системы прибавить любое другое уравнение системы, умноженное на некоторое число, то получится система уравнений, равносильная данной системе.
Теорема 3. Если система содержит уравнение, обе части которого тождественно равны нулю, то при исключении этого уравнения из системы получится система уравнений, равносильная данной системе.
Вопрос 12. Графическое решение системы 
двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Рассмотреть все возможные случаи
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными состоит в следующем: если прямая 
является графиком уравнения 
, а прямая 
является графиком уравнения 
, то пара координат каждой точки пересечения этих прямых является решением данной системы.
Теоретически возможны три случая:
Если 
, то прямые и пересекаются, следовательно, данная система имеет единственное решение 
.
Если 
, то прямые и параллельны, следовательно, данная система не имеет решений 
.
Если 
, то прямые и совпадают, следовательно, данная система имеет бесконечно много решений 
.
Пример 1. Решить графически систему 
Решение. Чтобы построить графики уравнений, найдем для каждой прямой координаты двух точек.
Из первого уравнения при 
получаем 
, при 
получаем 
, следовательно, график первого уравнения – прямая, проходящая через точки 
и 
.
Из второго уравнения при получаем 
, при получаем 
, следовательно, график второго уравнения – прямая, проходящая через точки 
и 
.
Теперь построим графики и найдем их общие точки (см. рисунок). Видим, что прямые имеют одну общую точку с координатами 
.
Ответ: .
Пример 2. Решить графически систему 
Решение. Чтобы построить графики уравнений, найдем для каждой прямой координаты двух точек.
Из первого уравнения при получаем 
, при получаем 
, следовательно, график первого уравнения – прямая, проходящая через точки 
и 
.
Из второго уравнения при получаем , при получаем 
, следовательно, график второго уравнения – прямая, проходящая через точки 
и 
.
Теперь построим графики. Видим, что 
и 
, следовательно, 
, поэтому прямые AB и CD параллельны, то есть не имеют общих точек.
Ответ: данная система не имеет решений.
Пример 3. Решить графически систему 
Решение. Чтобы построить графики уравнений, найдем для каждой прямой координаты двух точек.
Из первого уравнения при получаем 
, при получаем , следовательно, график первого уравнения – прямая, проходящая через точки 
и .
Из второго уравнения при получаем , при получаем , следовательно, график второго уравнения – прямая, проходящая через точки 
и 
.
Так как прямые AB и CD совпадают, то система имеет бесконечно много решений, и именно, решениями системы являются все решения уравнения 
.
Ответ: данная система имеет бесконечное множество решений.
Вопрос 13. Изображение на числовой оси множества решений
системы линейных неравенств с одной переменной
Система неравенств – это два или большее количество неравенств, для которых ищут общие решения.
Решением системы неравенств называется общее решение всех неравенств, входящих в систему.
Рассмотрим основные четыре случая для системы двух простейших строгих неравенств, считая 
.
1. 
2. 
3. 
4. 
Замечание. Аналогичные четыре случая возможны для системы, оба неравенства которой нестрогие. И еще восемь случаев возможны для системы, одно из неравенств которой строгое, а другое нестрогое. Рассмотрение этих случаев предоставляется читателю. Мы рассмотрим несколько конкретных примеров.
Пример 1. Решить систему неравенств: 
Изобразим решения неравенств графически.
Ответ: 
.
Пример 2. Решить систему неравенств: 
Изобразим решения неравенств графически.
Ответ: 
.
Пример 3.Решить систему неравенств: 
Изобразим решения неравенств графически.
Ответ: 
.
Пример 4.Решить систему неравенств: 
Изобразим решения неравенств графически.
Ответ: система не имеет решений.
Вопрос 14. Изображение на координатной плоскости множества решений
линейного неравенства с двумя переменными. Пример