Исследование свойств функции по ее графику

Как определить свойства функции, если ее график функции уже построен?

1. Область определения функции можно найти, спроектировав все точки графика на ось абсцисс.

2. Множество значений функции можно найти, спроектировав все точки графика на ось ординат.

3. Если график расположен между двумя прямыми, параллельными оси абсцисс, то функция является ограниченной.

4. Если у графика есть точка, расположенная выше всех остальных, то ордината этой точки является наибольшим значением функции.

Замечание. Наибольшее значение у функции если есть, то только одно, но принимать его функция может в нескольких точках, и даже в бесконечном количестве точек.

Например, функция принимает наибольшее значение при , где n – любое натуральное число.

Аналогично, ордината точки, расположенной ниже всех остальных, является наименьшим значением функции.

5. Если график симметричен сам себе относительно оси ординат, то функция является четной. Если график симметричен относительно начала координат, то функция является нечетной. Если график функции не обладает ни одной из этих симметрий, то функция не является ни четной, ни нечетной.

6. Если точка, перемещаясь по графику функции слева направо, то есть в положительном направлении оси , перемещается также снизу вверх (сверху вниз), то функция является возрастающей (убывающей). Если график функции – прямая, луч или отрезок, параллельные оси , то функция является постоянной на соответствующем промежутке.

7. Если график функции состоит из бесконечного количества (это можно представить себе только мысленно) равных частей, получающихся друг из друга переносом на вектор, параллельный оси , то функция является периодической.

8. Нули функции – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью .

9. Интервал знакопостоянства – это промежуток, во всех точках которого значения функции имеют один и тот же знак: (точки графика функции расположены выше оси абсцисс) или (точки графика функции расположены ниже оси абсцисс).