Главная | Обратная связь

Формула повної ймовірності

 

Нехай подія А може відбутися лише за умови настання однієї з несумісних подій В₁, В₂, …, В_п, що створюють повну групу. Нехай також відомі ймовірності цих подій Р(В₁), Р(В₂),…, Р(В_n) та умовні ймовірності . Як визначити ймовірність події А? Відповісти на це питання допоможе розгляд теореми.

Т е о р е м а 2.6. Імовірність події А, яка може відбутися лише при появі однієї з несумісних подій В₁, В₂, …, В_п , що утворюють повну групу , дорівнює сумі результатів множення ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А, а саме:

 

 

Д о в е д е н н я

За умовою теореми, подія А може відбутися, якщо настане одна з подій В₁, В₂, …, В_n . Тобто поява події А означає настання однієї з подій В₁А, В₂А, …, В_пА. Використовуючи теорему додавання несумісних подій, маємо, що

(2.1)

Кожний із записаних вище доданків за теоремою множення сумісних подій можна записати у вигляді: . Підставляючи праві частини цих виразів у рівність (2.1) отримуємо твердження теореми.

П р и к л а д 2.10. У першій урні лежать 4 чорних і 2 білих кулі, у другій – 6 чорних і 5 білих, у третій – 2 чорних та 4 білих. Знайти ймовірність того, що вийнята з навмання вибраної урни куля буде білою.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Позначимо через А подію: «вийнято білу кулю».

Куля могла бути вийнята з першої урни (подія В₁), з другої (подія В₂) або з третьої (подія В₃) урни. Тоді за формулою повної ймовірності можемо записати такий вираз:

.

Обчислимо необхідні ймовірності.

Зрозуміло, що Р(В₁) = Р(В₂) = Р(В₃)= 1/3;

відповідні умовні ймовірності

Підставляючи числові дані, робимо остаточні обчислення:

 

.

 

Відповідь: 16/33.

 

П р и к л а д 2.11. У першій коробці зберігається 20 деталей, з них 18 стандартних, у другій – 10 деталей, у т. ч. 9 стандартних. Із другої коробки навмання взято деталь і перекладено в першу коробку. Знайти ймовірність того, що навмання взята після цієї події деталь з першої коробки буде стандартною.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Уведемо такі позначення: подія А – взята деталь виявилась стандартною,

В₁– перекладено стандартну деталь,

В₂– перекладено нестандартну деталь.

Тоді відповідні ймовірності подій

 

Отже, шукана ймовірність події А обчислюється за формулою повної ймовірності таким чином:

.

 

Відповідь: 189/210.

 

 

Формули Бейєса

 

Нехай подія А може відбутися лише при настанні однієї з несумісних подій В₁, В₂, …, В_п, що утворюють повну групу. Оскільки наперед невідомо, яка з подій В₁, В₂, …, В_п відбудеться, їх називають гіпотезами. За формулою повної ймовірності ми можемо визначити ймовірність події А таким чином:

(2.2)

Тепер припустимо, що подія А відбулася. Поставимо за мету визначити, як змінилися (внаслідок того, що подія А відбулася) ймовірності гіпотез. Тобто будемо шукати умовні ймовірності

За теоремою множення записуємо, що

 

.

Тоді

.

Підставляючи замість Р(А) вираз (2.2), отримуємо таке співвідношення:

 

.

 

Так само визначаються ймовірності Тобто умовна ймовірність будь-якої гіпотези В_і (і = 1, 2, …, n) може бути обчислена за такою формулою:

 

.

 

 

Отримані формули називаються формулами Бейєса.

П р и к л а д 2.12

На двох керамічних заводах випускаються облицювальні плитки. Перший завод випускає 60% загальної кількості, другий – 40%. При цьому на першому заводі виготовляється 70% плитки вищої якості, на другому – 80%. На будівництво попадає продукція першого та другого заводів. Яка ймовірність того, що отримана плитка буде вищої якості? Знайти ймовірність того, що плитка вищої якості виготовлена на першому заводі.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Нехай подія А – отримання плитки вищої якості, В₁ – плитку виготовлено на першому заводі, В₂ – плитку виготовлено на другому заводі.

Тоді

Р(В₁)=0,6; Р(В₂)=0,4;

; .

За формулою повної ймовірності розраховуємо, що

Імовірність того, що отримано плитку вищої якості, дорівнює 0,74.

Визначимо ймовірність гіпотези В₁ за формулою Бейєса.

 

Отже, ймовірність того, що отримана плитка вищої якості була виготовлена на першому заводі, дорівнює 21/37.

Висновки

Події бувають сумісними і несумісними, залежними і незалежними. Складні події можна подати у вигляді суми або добутку більш простих подій. Для обчислення ймовірностей суми й добутку подій використовують відповідні теореми теорії ймовірності.

 

 

Питання для самоконтролю

 

1. Доведіть теорему додавання ймовірностей для несумісних подій.

2. Сформулюйте теорему додавання ймовірностей для сумісних подій.

3. Які події називають сумісними (несумісними)?

4. Які події називають протилежними?

5. Чому дорівнює сума ймовірностей подій, які утворюють повну групу?

6. Дати визначення добутку подій.

7. Дати визначення суми подій.

8. Поясніть геометричну й теоретико-множинну інтерпретацію суми та добутку подій?

9. Які події називаються залежними, незалежними?

10. Сформулюйте теорему множення для незалежних подій.

11. Сформулюйте теорему множення для залежних подій.

12. Виведіть формулу повної ймовірності.

13. У яких випадках застосовують формули Бейєса?