 |
|
Задачі до розділу 2
1. Випробування являє собою один кидок грального кубика. Позначимо через A подію випадання парної цифри; через 
– випадання цифри, кратної трьом. Що означають події: а) 
б) 
в) 
г) 
.
Розв’язування
Подія 
означає появу парних цифр, кратних трьом. Отже 
.
Подія 
означає або появу парної цифри, або появу цифри, кратної трьом. Таким чином, 
.
Протилежні знайденим події доповнюють їх до повної групи подій, тому 
; 
.
2. Розглянемо випробування, що являє собою одноразове кидання грального кубика, і події, пов’язані з цим випробуванням: 
; 
; 
; 
; 
. Розглянувши групу подій 
, відповісти на питання: а) чи вони несумісні; б) чи рівноймовірні; в) чи утворюють повну групу?
Відповідь: а) сумісні; б) рівноймовірні; в) утворюють повну групу.
3. У яких випадках можливі такі рівності: а) 
;
б) 
.
Відповідь: а) коли подія 
є окремим випадком події 
, б) коли подія є окремим випадком події 
.
4. Мішень складається з десяти кіл, обмежених концентричними колами з радіусами 
, 
, причому 
. Подія 
означає влучення в коло радіусом 
. Що означають події: а) 
; б) 
.
Відповідь: а) 
; б) 
.
5. Визначити ймовірність того, що вибраний навмання виріб першосортний, коли відомо, що серед усієї продукції 4 % бракованої, а 75 % небракованих виробів відповідають вимогам першого сорту.
Розв’язування
Уведемо такі позначення подій: – вибраний із загальної партії виріб небракований; – вибраний виріб першосортний. З умови задачі відомо, що 
. Значить 
. Крім того, 
. Шукана ймовірність дорівнює ймовірності добутку залежних подій, тобто 
.
6. Скільки потрібно взяти чисел з таблиці випадкових чисел, щоб з імовірністю не менше 0,9 бути впевненим, що серед них хоча б одне парне?
Відповідь: не менше чотирьох чисел.
7. Мішень складається із двох концентричних кіл, радіуси яких дорівнюють 
й 
відповідно, причому 
. Вважаючи промах неможливим, а влучення в будь-яку ділянку мішені рівноймовірним, визначити ймовірність того, що внаслідок двох пострілів буде тільки одне влучення в коло радіуса .
Відповідь: 
.
8. В урну поміщено дві кулі – білу й чорну. З урни виймають по одній кулі доти, поки не з'явиться чорна, причому, коли виймають білу кулю, то її повертають в урну й додають туди ще дві білих кулі. Визначити ймовірність того, що після перших п'яти випробувань чорну кулю не буде вийнято.
Відповідь: 
.
9. Визначити ймовірність того, що партію зі ста виробів, серед яких п'ять бракованих, буде прийнято після випробування вибраної навмання половини всіх виробів, якщо умови прийому допускають наявність бракованих виробів не більше одного з п'ятдесяти.
Розв’язування
Уведемо такі позначення – подія, коли в партії з п'ятдесяти виробів немає жодного бракованого; – у партії з п'ятдесяти виробів один бракований. Тоді шукана ймовірність дорівнює 
. Оскільки події й несумісні, то 
. Зі ста виробів п'ятдесят можна відібрати 
способами. З 95 якісних виробів 50 можна відібрати 
способами. Тому 
. Аналогічно 
. Таким чином 
.
10. У дві урни покладено однакові кулі, що відрізняються тільки кольорами, причому в першій урні 5 білих куль, 11 чорних і 8 червоних, а в другій – 10 білих, 8 чорних і 6 червоних. З обох урн навмання виймають по одній кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі забарвлені однаково?
Відповідь: 0,323.
11. Визначити ймовірність того, що навмання вибране натуральне число не буде ділитися ні на два, ні на три.
Відповідь: 1/3.
12. Двоє гравців по черзі кидають монету. Виграє той, у якого раніше випаде герб. Визначити ймовірність виграшу для кожного із гравців (вважаючи, що перший гравець починає).
Відповідь: 
; 
.
13. Про розрив конвеєрної стрічки сигналізують 3 датчики, що працюють незалежно один від одного. Перший спрацьовує з імовірністю 0,85; другий – з імовірністю 0,9; третій – 0,95. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює: а) хоч би один датчик; б) хоч би два датчики; в) спрацюють усі три датчики; г) тільки один датчик.
Відповідь: а)0,99925; б) 0,974; в) 0,72675; г) 0,02525.
14. Імовірність того, що стрілець при першому пострілі влучить у мішень дорівнює 0,85; при другому і третьому – 0,9. Стрілець робить три постріли. Знайти ймовірність того, що результатом трьох пострілів будуть три влучення.
Відповідь: 0,6885.
15. Три механіки незалежно один від одного виконували складання вузлів скребкового конвеєра. Ймовірність того, що перший механік допустить помилку під час складання, дорівнює 0,15; для другого й третього механіків ця ймовірність буде становити відповідно 0,2 і 0,3. Знайти ймовірність того, що, виконуючи складання вузлів, один з механіків допустить помилку.
Відповідь: 0,407.
16. Стрічковий конвеєр обладнано двома двигунами, які працюють незалежно один від одного. Ймовірність відмови двигунів за час t відповідно дорівнює 0,05 і 0,08. Знайти ймовірність відмови в роботі стрічкового конвеєра, якщо для цього достатньо, аби відмовив хоча б один двигун.
Відповідь: 0,126.
17. В електричне коло паралельно ввімкнуто три елементи, що працюють незалежно один від одного. Ймовірності відмови першого, другого і третього елементів відповідно дорівнюють: 0,1; 0,15; 0,2. Знайти ймовірність того, що струму в колі не буде.
Відповідь: 0,003.
18. Маємо дві коробки з кольоровими кулями. У першу покладено 7 червоних і 3 білих кулі; у другу – 4 червоних і 6 білих куль. З кожної коробки виймають по одній кулі. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться одна червона й одна біла куля.
Відповідь: 0,54.
19. Система складається з двох блоків, які працюють незалежно один від одного, а відмова одного з них не впливає на роботу іншого. Ймовірність безвідмовної роботи першого з блоків дорівнює 0,8, другого – 0,9. Визначте ймовірність виходу системи з ладу, якщо її безвідмовну роботу забезпечують обидва блоки?
Відповідь: 0,28.
20. Три спортсмени беруть участь у відбіркових змаганнях. Імовірність того, що перший успішно пройде відбір і потрапить у збірну дорівнює 0,8; для другого спортсмена ця ймовірність дорівнює 0,6; для третього – 0,5. Знайти ймовірність того, що всі спортсмени потраплять у збірну.
Відповідь: 0,24.
21. У деякій місцевості середнє число похмурих днів протягом липня дорівнює шести. Знайти ймовірність того, що першого і другого липня буде ясна погода.
Відповідь: 20/31.
22. Стрілець робить три постріли по мішені з імовірністю попадання внаслідок першого, другого і третього пострілу 0,7; 0,8; 0,9 відповідно. Знайти ймовірність хоча б одного попадання внаслідок трьох пострілів.
Відповідь: 0,784.
23. Перевіряють якість виробів. Імовірність того, що кожен з них буде першосортним, дорівнює 0,8. Визначити ймовірність того, що з трьох перевірених виробів першосортним виявиться тільки один.
Відповідь: 0,096.
24. Імовірність одного влучення в ціль при одному залпі з двох гармат дорівнює 0,38. Знайти ймовірність попадання в ціль першою гарматою, якщо для другої вона дорівнює 0,7.
Відповідь: 0,8.
25. Стрілець робить три постріли по мішені з імовірністю влучення в першому, другому й третьому пострілі 0,7; 0,8; 0,9 відповідно. Знайти ймовірність того, що буде не менше двох влучень у мішень.
Відповідь: 0,902.
26. Розглянемо систему, складену з п’яти елементів А, В, С, D, Е, ймовірності безвідмовної роботи яких мають такі значення: Р(А) = 0,5; Р(В) = 0,7; Р(С) = 0,4; Р(D) = 0,8; Р(Е) = 0,9. Визначити ймовірність: а) відмови системи; б) безвідмовної роботи системи, якщо її елементи сполучені так, як це показано на схемі (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Схема до задачі 26
Розв’язування
Знайдемо спочатку ймовірність безвідмовної роботи системи. Подія Q – безвідмовна робота системи, має місце, коли відбувається одна з подій Q1, Q2, ... , Q7, причому
Q1 = А×D×E× 
× 
;
Q2 = C×D×E× 
× ;
Q3 = B×D×E× × ;
Q4 = А×B×C×D×E;
Q5 = А×C×D×Е× ;
Q6 = А×B×D×E× ;
Q7 = B×C×D×E× ;
тому
Q = Q1+ Q2+ Q3+ Q4+ Q5+ Q6+ Q7.
Позначимо ймовірність події Qі через Рі, тоді 
. Обчислимо ймовірності таким чином:
Р1 = Р(А)×Р(D)×Р(E)×Р( )×Р( ) Þ Р1 = 0,0648;
Р2 = Р(C)×Р(D)×Р(E)×Р( )×Р( ) Þ Р2 = 0,0432;
Р3 = Р(B)×Р(D)×Р(E)×Р( )×Р( ) Þ Р3= 0,1512;
Р4 = Р(А)×Р(B)× Р(C)×Р(D)× Р(E) Þ Р4 = 0,1008;
Р5 = Р(А)×Р(C)×Р(D)× Р(Е)×Р( ) Þ Р5 = 0,0432;
Р6 = Р(А)×Р(B)×Р(D)×Р(E)×Р( ) Þ Р6 = 0,1512;
Р7 = Р(B)×Р(C)×Р(D)×Р(E)×Р( ) Þ Р7 = 0,1008;
Отже, 
0,6552; 
0,3448.
Цю задачу ми можемо також розв’язати іншим способом.
Позначимо блок, складений з елементів А, С, В, через L. Відмова цього блока буде можлива лише тоді, коли відмовлять елементи А, С, В одночасно, а ймовірність його відмови ми можемо визначити таким чином:
Тоді ймовірність безвідмовної роботи цього блока
Імовірність безвідмовної роботи системи можлива, коли працюють елементи L, D, E, тобто Рроб = Р(L) × Р(D) × Р(E) ;
Рроб = 0,91 × 0,8 × 0,9 = 0,6552,
відповідно Рвідмови = 1 – Рроб = 1 – 0,6552 = 0,3448.
Відповідь: Рроб = 0,6552; Рвідмови = 0,3448.
27. Розглянемо систему, складену з 5 елементів А, В, С, D, Е, ймовірності безвідмовної роботи яких мають такі значення: Р(А) = 0,5; Р(В) = 0,7; Р(С) = 0,8; Р(D) = 0,8; Р(Е) = 0,9. Визначити ймовірність: а) відмови системи; б) безвідмовної роботи системи, якщо елементи сполучені так, як це показано на схемі (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Схема до задачі 27
Відповідь: Рроб = 0,4896; Рвідмови = 0,5104.
28. Розглянемо систему, складену з 5 елементів А, В, С, D, Е, ймовірності безвідмовної роботи яких мають такі значення: Р(А) = 0,5; Р(В) = 0,9; Р(С) = 0,9; Р(D) = 0,8; Р(Е) = 0,4. Визначити ймовірність: а) відмови системи; б) безвідмовної роботи системи, якщо елементи сполучені так, як це показано на схемі (рис. 2.6):
Рис. 2.6. Схема до задачі 28
Відповідь: Рроб = 0,7614; Рвідмови = 0,2389.
29. У першій урні лежать п'ять куль, а в другій – десять куль. Серед них одну позначено, причому відомо, що з імовірністю 0,3 вона може перебувати в першій урні та з імовірністю 0,7 – у другій. Як варто розпорядитися правом 7 разів виймати кулі з будь-якої урни, щоб імовірність дістати позначену кулю була б найбільшою, якщо кулю кожного разу після виймання повертають в урну?
Розв’язування
Позначимо подію виймання позначеної кулі через . Висунемо такі гіпотези: 
– позначена куля лежить в першій урні; 
– у другій. За умовою задачі ймовірності гіпотез відомі, а саме: 
; 
. Нехай з першої урни достали 
куль, а із другої – 
. Умовні ймовірності виймання позначеної кулі: 
; 
.
Імовірність виймання позначеної кулі за цих припущень можна визначити, використовуючи формулу повної ймовірності таким чином:
.
Потрібно знайти таке ціле значення , що перебуває в інтервалі 
, і при цьому ймовірність події 
максимальна.
Обчислюючи ймовірності для різних значень , робимо висновок, що ймовірність максимальна й дорівнює 0,395, якщо = 2. Це означає, що два рази варто витягати кулю з першої урни й п'ять разів – із другої.
30. У тирі є п'ять рушниць, імовірності влучення з яких відповідно дорівнюють 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Визначити ймовірність влучення внаслідок одного пострілу, якщо стрілець бере одну з рушниць навмання.
Відповідь: 0,7.
31. В урну із шістьма кулями, покладено білу кулю. Яка ймовірність вийняти із цієї урни білу кулю, якщо всі припущення стосовно початкового набору куль за кольорами рівноймовірні?
Відповідь: 4/7.
32. У ящик поміщено 15 тенісних м'ячів, 9 з яких нові. Для першої гри навмання беруть три м'ячі, які після використання повертають у ящик. Для другої гри також навмання беруть три м'ячі. Знайти ймовірність того, що всі м'ячі, узяті для другої гри, нові.
Відповідь: 0,0893.
33. Відділ технічного контролю складається з двох лабораторій. Перша видає в середньому 1 помилковий результат на 20 проведених аналізів, друга – 2 помилкових результати на 35 аналізів. Лабораторії завантажені роботою порівну. Знайти ймовірність того, що виконаний аналіз буде помилковим.
Відповідь: 0,054.
34. Бурові коронки перевіряються на стандартність одним із двох контролерів ОТК. Імовірність того, що коронку перевірятиме контролер А, дорівнює 0,7, при цьому ймовірність того, що він не помилиться в оцінюванні стандартної коронки, дорівнює 0,8. Для контролера В ця ймовірність дорівнює 0,85. Знайти ймовірність того, що при перевірці стандартної коронки не буде допущено помилки.
Відповідь: 0,815.
35. Два цехи заводу виробляють валки для дробарок, які потім надходять у складальний цех. Продуктивність першого цеху в 1,5 рази більша, ніж другого. Перший цех виробляє в середньому 80% валків відмінної якості, а другий – 90%. Яка ймовірність того, що навмання взятий на складанні валок буде відмінної якості.
Відповідь: 0,84.
36. Для придбання квитка пасажир може звернутися в одну з трьох кас. Імовірність того, що пасажир звернеться в ту чи іншу касу, відповідно дорівнює 0,5; 0,4; 0,1. Імовірність того, що до моменту прибуття пасажира квитки буде продано, для першої каси дорівнює 0,8, для другої – 0,6 і для третьої – 0,4. Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійшов до однієї з кас, придбає квиток?
Відповідь: 0,68.
37. Прямуючи на роботу, службовець має на вибір три маршрути. Перший з них найкоротший, хоча ймовірність запізнитись на роботу при його виборі дорівнює 0,25. Якщо скористатись другим маршрутом, то ймовірність запізнення буде становити 0,15; на третьому найдовшому маршруті ця ймовірність дорівнює 0,05. Перший маршрут службовець вибирає в 60 % випадків. Другий – у 30 % випадків. Яка ймовірність того, що сьогодні він прийде на роботу вчасно.
Відповідь: 0,8.
38. Група з 30 студентів йде складати іспит. З них десять осіб вивчили весь матеріал і тому для них ймовірність скласти іспит становить 0,90. Дванадцять студентів вивчили 50 % питань і для них така ймовірність дорівнює 0,6. Решта студентів прийшли, майже нічого не вивчивши, тому в них ймовірність скласти іспит становить 0,001. Яка ймовірність того, що перший-ліпший вибраний студент складе іспит.
Відповідь: 0,54.
39. Перевірку якості продукції здійснюють два контролери. Перший перевіряє 60 % виробів, другий – 40 %. Імовірність того, що перший контролер не помітить брак, становить 0,02 , другий – 0,01. З виробів, які пройшли контроль, навмання вибирають один. Яка ймовірність того, що він буде бракованим.
Відповідь: 0,016.
40. У першій урні лежить 10 куль, з них 5 білих, у другій – 20 куль, з них 6 білих. З кожної урни навмання вийняли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взяли одну. Знайти ймовірність того, що ця куля не буде білою.
Відповідь: 0,6.
41. У змаганнях беруть участь три групи спортсменів. У першій групі 15 спортсменів, в другій і третій – по 10. Імовірність того, що норматив виконає спортсмен першої групи, дорівнює 0,7, а другої і третьої груп – відповідно 0,8 і 0,6. Яка ймовірність того, що перший-ліпший вибраний спортсмен виконає норматив?
Відповідь: 0,545.
42. Для передачі повідомлень за допомогою сигналів «крапка» й «тире» використовують телеграфну систему. Властивості перешкод у цій системі такі, що спотворюється в середньому 
сигналів «крапка» і 
сигналів «тире». Відомо також, що серед переданих сигнали «крапка» й «тире» вживаються у відношенні 5:3. Визначити ймовірності того, що під час прийому сигналів «крапка» й «тире» насправді були передані саме вони.
Розв’язування
Уведемо такі позначення : подія – прийняття сигналу «крапка», а подія – прийняття сигналу «тире». Розглянемо гіпотези: – переданий сигнал «крапка»; – переданий сигнал «тире». За умовою задачі 
. Крім того, 
. Отже апріорні ймовірності гіпотез: 
; 
.
Імовірності подій і можна визначити за формулою повної ймовірності, тобто
;
.
Апостеріорні ймовірності гіпотез перераховуються за формулою Бейєса, а саме:
;
.
Відповідь: 
, 
43. У партії з п'яти виробів будь-яка кількість бракованих рівноймовірна. Узятий навмання з партії один виріб виявився бракованим. Яка після цього ймовірність того, що всі вироби в партії були бракованими.
Відповідь: 1/3.
44. Визначити ймовірність того, що в партії з 20 лампочок немає жодної несправної, якщо взяті навмання п'ять лампочок виявилися справними. Вважається, що число несправних лампочок у партії рівноймовірне від 0 до 3.
Відповідь: 0,37.
45. Імовірності того, що стріляючи один раз, кожен із трьох стрільців влучить у ціль, дорівнюють відповідно 4/5; 3/4; 2/3. Стрільці виконали по одному пострілу одночасно, при цьому спостерігалося два влучення в ціль. Визначити ймовірність того, що промахнувся третій стрілець.
Відповідь: 6/13.
46. Робітник отримав три коробки з деталями, які були виготовлені на заводі А, і дві коробки, деталі в яких виготовлені заводом В. Імовірність того, що будь-яка деталь виробництва заводу А, стандартна дорівнює 0,8. Для деталей, що вироблені на заводі В, ця ймовірність дорівнює 0,9. Робітник навмання дістав деталь з першої-ліпшої коробки. Деталь виявилася стандартною. Яка ймовірність того, що вона виготовлена заводом А.
Відповідь: 0,57.
47. На складання надходять однотипні деталі, виготовлені на трьох заводах А, В і С, причому 50 % деталей постачає завод А, 20 % – завод В. Брак деталей, виготовлених на заводі А, становить в середньому 2 %, на заводі В – 3 %, на заводі С – 1%. Під час складання виявлено браковану деталь. Знайти ймовірність того, що вона виготовлена заводом В.
Відповідь: 0,32.
48. Хімічний аналіз на шахті виконують дві лабораторії. Перша з 100 аналізів дає в середньому 3 неправильних результати, а друга з 40 аналізів – один неправильний результат. Відомо, що 60 % усіх проб обробляє перша лабораторія. Аналіз проб виявився помилковим. Знайти ймовірність того, що аналіз виконала друга лабораторія.
Відповідь: 0,357.
49. Цех отримує 25 % освітлювальних лампочок першого сорту, а решту – другого сорту. Встановлено, що в середньому з кожних 30 лампочок перегоряють раніше гарантійного терміну 4 лампочки першого сорту і 8 лампочок другого сорту. У цеху перегоріла лампочка. Визначити ймовірність того, що вона першого сорту.
Відповідь: 0,14.
50. У коробці лежить куля невідомого кольору, ймовірність того, що вона біла або чорна, однакова. До неї опускають одну білу кулю і після ретельного перемішування навмання дістають одну кулю. Вона виявилася білою. Яка ймовірність того, що куля, яка залишилася в урні, чорна.
Відповідь: 1/3.
51. Студент знає 30 питань з 50. Що для нього краще: йти відповідати першим чи другим?
Вказівка: обчисліть ймовірність обрати питання, яке студент знає, у першому й другому випадку.
Відповідь: не має значення.