 |
|
Дискретні випадкові величини. Закони розподілу дискретних випадкових величин
Для того, щоб задати дискретну випадкову величину, необхідно задати усі її можливі значення і вказати їхні ймовірності, тобто задати закон розподілу випадкової величини.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між її можливими значеннями та їх ймовірностями.
Закон розподілу може бути заданий таблицею, аналітично (формулою) і графічно.
Табличне задання закону розподілу. Цей спосіб являє собою форму запису закону розподілу у вигляді таблиці в якій перший рядок містить можливі значення дискретної випадкової величини, а другий – їхні ймовірності, тобто
| X | x1 | x2 | x3 | … | xn |
| P | p1 | p2 | p3 | … | pn |
Сума ймовірностей р1, р2, … рn у нижньому рядку таблиці повинна дорівнювати одиниці.
П р и к л а д 4.1. Нехай випущено 100 лотерейних білетів. Розігрується один виграш у 50 грн, 4 виграші по 20 грн, і 25 виграшів по 1 грн. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – можливого виграшу, у разі придбання одного білета.
Р о з в ’ я з у в а н н я
Можливі значення випадкової величини Х: х1= 50, х2= 20, х3= 1, х4= 0. Ймовірності цих значень: р1= 0,01, р2= 0,04, р3= 0,25, р4= 0,7.
Запишемо шуканий закон розподілу в табличній формі.
| X | ||||
| p | 0,01 | 0,04 | 0,25 | 0,7 |
Перевірка результату: 0,01 + 0,04 + 0,25 + 0,7 = 1.
Графічне задання закону розподілу. Для цього способу зображення закону розподілу у прямокутній системі координат будують точки (хі, рі) і з’єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.
П р и к л а д 4.2
Два стрільці роблять по одному пострілу в мішень. Імовірність того, що перший стрілець влучить у мішень дорівнює 0,5; для другого стрільця ця ймовірність дорівнює 0,6. Задати графічно закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа влучень у мішень.
Р о з в ’ я з у в а н н я
Можливі значення випадкової величини Х: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2. Обчислимо ймовірності цих значень:
р1= (1–0,5)(1–0,6) = 0,2 ,
р2 = 0,5∙0,4 + 0,5∙0,6 = 0,5,
р3= 0,5∙0,6 = 0,3.
Перевіримо властивості ймовірності : 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1.
Побудуємо багатокутник розподілу (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Графічне задання закону розподілу ( до прикладу 4.2)
Розглянемо тепер деякі поширені закони розподілу дискретних випадкових величин.
Біномний закон розподілу дискретних випадкових величин
Нехай проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може відбутися або ні. Імовірність настання події А у всіх випробуваннях однакова і дорівнює р, а ймовірність того, що подія А не відбудеться, q = 1 – p. Розглянемо дискретну випадкову величину Х – число появ події А у цих випробуваннях.
Знайдемо закон розподілу випадкової величини Х. Запишемо множину можливих значень цієї величини х1= 0, х2= 1, … хn+1= n. Для обчислення їхніх ймовірностей скористаємось формулою Бернуллі:
(4.1)
тут k = 0, 1, 2, …, n.
Формула (4.1) являє собою аналітичне вираження шуканого закону розподілу.
Отже, біномним називають розподіл імовірностей, що описується формулою Бернуллі.
П р и к л а д 4.3. Викладач задає студенту три запитання . Імовірність того, що студент відповість на будь-яке запитання, дорівнює 0,9. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа запитань, на які студент дасть відповідь.
Р о з в ’ я з у в а н н я
Імовірність того, що студент відповість на запитання, р = 0,9, тоді ймовірність того, що він не відповість, q = 1 – р = 0,1.
Студент може не відповісти на жодне запитання або відповісти на одне з них, на два або на всі три. Таким чином, можливі значення Х такі: х1= 0, х2= 1, х3= 2, х4= 3.
Знайдемо їхні імовірності за формулою Бернуллі, а саме:
Перевірка результату: 0,001 + 0,027 + 0,243 + 0,729 = 1.
Тепер запишемо шуканий закон розподілу в табличній формі
| X | ||||
| р | 0,001 | 0,027 | 0,243 | 0,729 |
Аналітично цей закон можна записати так:
, тут k = 0, 1, 2, 3.
Закон Пуассона
Нагадаємо, що в тих випадках , коли число випробувань n – велике, а ймовірність настання події р – мала, використовувати формулу Бернуллі неможливо. Якщо добуток np зберігає стале значення, тобто np = l, то для обчислення ймовірності використовують асимптотичну формулу Пуассона, а саме:
.
Ця формула описує закон Пуассона розподілу ймовірностей. Цей закон називають законом розподілу масових (кількість випробувань n – велика), але рідкісних ( ймовірність настання події р – мала) явищ.
Геометричний розподіл ймовірності
Нехай проводяться незалежні випробування, у кожному з яких подія А може відбутись або ні. Імовірність появи події А у всіх випробуваннях однакова і дорівнює р, а ймовірність того, що подія А не відбудеться, q = 1 – p. Випробування припиняють тоді, коли настає подія А. Розглянемо дискретну випадкову величину Х – число проведених випробувань.
Випадкова величина Х може набути таких значень: k = 1, 2, 3, … Обчислимо ймовірність появи значення k.
Коли k = 1, це означає, що подія А відбулась у першому випробуванні. За умовою імовірність її появи 
.
Коли k = 2, це означає, що подія А не відбулась у першому випробуванні, але відбулась у другому. Тоді ймовірність її появи 
.
Аналогічно, коли k = 3, то 
, і в загальному випадку ймовірність того, що випадкова величина прийме значення k, буде обчислюватись за таким правилом:
тут k = 1, 2, 3, …
П р и к л а д 4.5. Припустимо, що в нашому розпорядженні є лампочки. Імовірність того, що кожна з них має дефект, дорівнює 0,4. При вмиканні дефектна лампочка відразу перегоряє, і замінюється на іншу. Необхідно побудувати ряд розподілу випадкової величини Х – числа лампочок, які будуть випробувані.
Р о з в ’ я з у в а н н я
Обчислимо ймовірність р того, що лампа якісна. Ця подія буде протилежною до події «лампа має дефект», тому шукану ймовірність ми можемо обчислити таким чином:
р = 1 – 0,4 = 0,6.
Ми можемо випробувати одну, дві, три і т. д. лампи. Це означає, що випадкова величина Х може набути таких можливих значень: 1, 2, 3, … Обчислимо ймовірності цих значень.
Х набуває значення одиниці, якщо перша лампочка буде якісною. Імовірність настання такої події р = 0,6.
Х = 2, якщо перша лампочка має дефект, а друга якісна, тобто
P(X = 2) = q p = 0,4∙0,6 = 0,24.
X = 3, якщо перші дві лампочки дефектні, а третя якісна, а саме:
P(X = 3) = q2p = 0,42∙0,6 = 0,096.
Аналогічно, коли Х = k, то
P(X = k) = q k-1p = 0,4 k-1∙0,6.
Отже, ряд розподілу, набуває вигляду:
| X | … | k | … | |||
| p | 0,6 | 0,24 | 0,096 | … | 0,4 k-1 ∙0,6 | … |
Аналітичний запис відповідного закону має такий вигляд:
P(X = k) = 0,4 k-1 0,6 , тут k = 1,2,3,… .