 |
|
Числові характеристики неперервних випадкових величин
Нехай неперервна випадкова величина Х задана функцією 
.
Математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називають таку величину: 
.
Якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать відрізку [a,b], то математичне сподівання можна обчислити за такою формулою:
.
Дисперсією неперервної випадкової величини називають математичне сподівання квадрата її відхилення, тобто
.
Якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать відрізку [a,b], то формула для обчислення дисперсії набуває такого вигляду:
.
У разі, коли можливі значення належать усій осі Х, то
.
Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначається рівністю: 
.
Зауважимо, що всі властивості математичного сподівання та дисперсії, які були визначені для дискретних випадкових величин, зберігаються і для неперервних випадкових величин.
Розглянемо приклади обчислення характеристик випадкових величин.
П р и к л а д 4.10. Випадкову величину Х задано диференціальною функцією розподілу:
Потрібно знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х.
Р о з в ’ я з у в а н н я
Випадкова величина Х неперервна, її математичне сподівання знайдемо за такою формулою: 
. Використовуємо цю формулу, оскільки 
лише на відрізку [0; 4].
Отже,
.
Для визначення дисперсії використаємо таку формулу: 
.
Виконаємо обчислення:
.
Відповідь: 
, 
.
Висновки
Випадкові величини бувають дискретні й неперервні.
Закон розподілу повністю описує випадкову величину. Його можна задати таблицею, геометрично або аналітично. Універсальним засобом задання випадкової величини є функція розподілу.
Основними характеристиками випадкової величини є математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.
Питання для самоконтролю
1. Сформулюйте визначення випадкової величини.
2. Які випадкові величини ви знаєте?
3. Які випадкові величини називаються дискретними? Наведіть приклади.
4. Які випадкові величини називаються неперервними? Наведіть приклади.
5. Сформулюйте визначення закону розподілу випадкової величини.
6. Які способи опису законів розподілу ви знаєте?
7. Чи можливо задати закон розподілу неперервної випадкової величини у вигляді таблиці?
8. Які числові характеристики випадкової величини ви знаєте?
9. Дайте визначення математичного сподівання. Який ймовірнісний сенс має ця характеристика?
10. Яким чином обчислюють математичне сподівання дискретної (неперервної) випадкової величини?
11. Дайте визначення дисперсії. Що вона характеризує?
12. Яким чином обчислюють дисперсію? Яку розмірність вона має?
13. Як можна обчислити середнє квадратичне відхилення? Що воно характеризує?
14. Яку розмірність має середнє квадратичне відхилення?
15. Дайте визначення інтегральної функції розподілу випадкової величини?
16. Які властивості має інтегральна функція розподілу?
17. Дайте визначення диференціальної функції розподілу випадкової величини.
18. Які властивості має диференціальна функція розподілу?
19. Який вигляд має інтегральна функція розподілу дискретної випадкової величини?
20. Яким чином можна обчислити ймовірність попадання випадкової величини у даний інтервал?
21. Як можна визначити інтегральну функцію розподілу за відомою щільністю розподілу?
22. Який геометричний сенс диференціальної функції розподілу?