Главная | Обратная связь

Функція розподілу двовимірної випадкової величини

 

Розглянемо двовимірну випадкову величину (дискретну або неперервну).

Функцією розподілу двовимірної випадкової величини (Х, Y) називають функцію F(x, y), яка для кожної пари значень аргументів (x, y) дорівнює ймовірності того, що випадкова величина Х набуде значення, меншого за х, і при цьому випадкова величина Y набуде значення, меншого за y, тобто

 

Геометрично це означає, що F(x, y) – це ймовірність того, що випадкова точка (Х, Y) попадає у нескінченний квадрат з вершиною (x, у), який розташований нижче та лівіше цієї вершини ( рис. 6.1).

 

 

Рис. 6.1. Геометрична інтерпретація функції розподілу двовимірної випадкової величини

 

Функція розподілу двовимірної випадкової величини має такі властивості:

 

1. Значення функції розподілу задовольняють таку подвійну нерівність:

2. F(X,Y) – неспадна за кожним аргументом.

3. Виконуються такі граничні співвідношення:

4. Якщо y = +¥, то функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Х,а саме:

.

5. Якщо х = +¥, то функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Y, тобто

.

 

Використовуючи функцію розподілу системи випадкових величин X та Y, можна обчислити ймовірність того , що внаслідок випробування випадкова точка попаде у півсмугу (x₁< X < x₂ та Y < y ), як показано на рис. 6.2.

Із графіка видно, що цю ймовірність можна обчислити за такою формулою:

 

 

 

Рис. 6.2. Графічна інтерпретація ймовірності попадання випадкової точки у вертикальну півсмугу

 

 

Для випадку, коли в результаті випробувань точка попадає у півсмугу (див. рис. 6.3), то аналогічно обчислюємо, що

 

Таким чином, імовірність попадання випадкової точки в півсмугу дорівнює різниці функцій розподілу за одним з аргументів.

Рис. 6.3. Геометрична інтерпретація ймовірності попадання випадкової точки у горизонтальну півсмугу

 

 

Обчислимо тепер імовірність попадання випадкової точки у прямокутник.

Для цього розглянемо прямокутник АВСD, сторони якого паралельні координатним осям (рис. 6.4). Нехай рівняння його сторін x = х₁, x = х₂, y = y₁, y = y₂.

 

 

Рис. 6.4. Імовірність попадання випадкової точки в прямокутник

 

Визначимо ймовірність попадання випадкової точки у цей прямокутник, використовуючи ймовірності її попадання у півсмугу (вертикальну або горизонтальну).

Таким чином:

 

 

Розкриваємо дужки і формула набуває такого вигляду:

 

(6.1)

 

П р и к л а д 6.2

Знайти ймовірність попадання випадкової точки (x,y) у прямокутник, обмежений такими прямими: х = p/6; х = p/2; у = p/4; у= p/3, якщо

, коли .

Р о з в ’ я з у в а н н я

Використовуючи отриману формулу (6.1), робимо обчислення: