Главная | Обратная связь

Відшукування параметрів вибіркового рівняння прямої лінії регресії за незгрупованими даними

 

Нехай вивчається система кількісних ознак (х,y). За результатами n незалежних дослідів отримано n пар чисел (x₁,y₁), (x₂,y₂), …, (x_n,y_n). Необхідно знайти за цими даними вибіркове рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії.

Будемо шукати рівняння регресії Y на Х у такому вигляді:

, (8.1)

при цьому коефіцієнт називають вибірковим коефіцієнтом регресії Y на Х.

Для обчислення коефіцієнтів та b будемо використовувати метод найменших квадратів. Тобто параметри та b вибираються таким чином, щоб сума квадратів відхилень (Y_i – y_i) була мінімальною. Тут величина Y_i являє собою обчислену за рівнянням (8.1) ординату для значення x_i. Отже, необхідно розв’язати таку задачу:

або в конкретизованому вигляді

.

Це задача безумовної оптимізації, тому для відшукування мінімуму прирівняємо до 0 відповідні частинні похідні й отримаємо таку систему рівнянь:

 

 

Розв’язуючи цю систему, отримуємо такі значення коефіцієнтів рівняння регресії:

, (8.2)

 

. (8.3)

 

Аналогічно можна записати вибіркове рівняння Х на Y:

,

де – вибірковий коефіцієнт регресії Х на Y.

 

П р и к л а д 8.1

Знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на Х за даними п’яти спостережень, результати яких записано у таблицю:

 

X	1,00	1,50	3,00	4,50	5,00
Y	1,25	1,40	1,50	1,75	2,25

 

Р о з в ’ я з у в а н н я

Складемо розрахункову таблицю.

Таблиця 8.1

xi	yi	xi2	xiyi
1,00 1,50 3,00 4,50 5,00	1,25 1,40 1,50 1,75 2,25	1,00 2,25 9,00 20,25 25,00	1,250 2,100 4,500 7,875 11,250

 

Знайдемо шукані параметри, для чого підставимо обчислені за таблицею суми у формули (8.2), (8.3), тобто

 

,

 

.

 

Запишемо шукане рівняння регресії:

 

Y = 0,202 х + 1,024. (8.4)

Зобразимо графічно експериментальну й вибіркову лінії регресії (рис. 8.1). Для побудови експериментальної лінії регресії відкладемо на координатній площині точки (x_i, y_i), i = 1, 2, …, n, що відповідають результатам спостережень, і з’єднаємо їх відрізками прямих. Вибіркову лінію регресії будуємо за рівнянням (8.4).

Як видно з графіка, побудована вибіркова лінія регресії узгоджується з даними спостереження. Те, що не всі відхилення достатньо малі, пояснюється малим числом спостережень.